最小树形图(朱刘算法)

不好意思 时间比较短,下面应该还会有修订的= = , 那段话是我复制过来的,觉得挺好的就用一下.

下面是讲解(不理解一的时候 , 可以看看二 ,结合图片):

一:   最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是 1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
       判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进 行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小 入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这 个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
        上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

 

二:     最开始的图，把所有的最小入边都累加到ret里。至于为什么，因为这样才能保证所得的ret有可能是最小树形图的解，当然，是在这些最小入边集合不行成环得情况下。
如果有了环，ret肯定不是最终答案，因为环中间有的边需要删掉，而且环之间也要连接起来。现在我们无法得知删除环中的哪些边才行。这就需要建立新图了。
          举个例子：某个图的部分图中， 1->2权值为3， 2->1权值为4， 3->1权值为9， 4->2权值为7。 那么可以看到，结点1和结点2是形成了一个环的。我们仅从其大小不知道删除哪条边比较好，这时看到3->1权值为9， 如果走这条边，那么接下来只能删除掉2->1这条边，同理走4->2的话就要删除掉1->2这条边。 那么就不妨建立新图， 将1和2缩成一点，3->1的权值就变成了9-4=5， 4->2的权值变成了7-3=4。 这样的话，就相当于变相删除了不需要走的边了。形成新图后，又变成了最小树形图的求解，就这样循环下去，直到图中的最小边集没有环为止。

      

下面是模板代码:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 
 5 using namespace std;
 6 const int MAXN = 1e4 , INF = 1e8;
 7 int d[MAXN] , id[MAXN] , vis[MAXN] , pre[MAXN]; //d:除root点外每个点的最小入边 id:下一次建图新的节点号 vis:用来判断是否成环 下面程序见 pre:点的前序节点
 8 int V , E;    // V:点的个数    E:边的个数
 9 struct node {
10     int u , v , cost;  //边的起点  终点  以及长度
11 }edge[MAXN];
12 
13 int zhuliu(int root) {
14     int res = 0;   //最小树形图的长度
15     while(true) {
16         for(int i = 0 ; i < V ; i++) {
17             d[i] = INF;
18         }
19         for(int i = 0 ; i < E ; i++) {    //寻找最小入边
20             int u = edge[i].u , v = edge[i].v;
21             if(u != v && edge[i].cost < d[v]) {
22                 pre[v] = u;
23                 d[v] = edge[i].cost;
24             }
25         }
26         for(int i = 0 ; i < V ; i++) {
27             if(i != root && d[i] == INF) {        //除了root之外  有别的点无最小入边
28                 return -1;               
29             }
30         }
31         int cont = 0;
32         memset(id , -1 , sizeof(id));
33         memset(vis , -1 , sizeof(vis));
34         d[root] = 0;
35         for(int i = 0 ; i < V ; i++) {   //找环
36             res += d[i];
37             int v = i;
38             //vis[v] == i 表明找到一个环    id[v] != -1 表明这个点在循环中已经被下面的操作缩点(在环中)    v == root 说明寻找到了根节点
39             while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {    //每个点寻找前序节点  要么找到根部  要么找到一个环
40                 vis[v] = i;
41                 v = pre[v];
42             }
43             if(v != root && id[v] == -1) {   //成环 缩点
44                 for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u]) {
45                     id[u] = cont;
46                 }
47                 id[v] = cont++;
48             }
49         }
50         if(cont == 0) {   //无环  break
51             break;
52         }
53         for(int i = 0 ; i < V ; i++) {
54             if(id[i] == -1) {    //没有成环的点
55                 id[i] = cont++;
56             }
57         }
58         for(int i = 0 ; i < E ; i++) {   //重新建图 重新标记
59             int u = edge[i].u , v = edge[i].v;
60             edge[i].u = id[u] , edge[i].v = id[v];
61             if(id[v] != id[u]) {   
62                 edge[i].w -= d[v];  //理解上面的文字描述 > . < !(特别是二)
63             }
64         }
65         V = cont;
66         root = id[root];   //新的根
67     }
68 }
69 
70 int main()
71 {
72 
73 }

写的(盗用的)有些匆忙...