约瑟夫问题

约瑟夫问题

分类： Algorithm_math Algorithm_数论 2013-07-08 13:39  71人阅读  评论(0)  收藏  举报

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1）
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

约瑟夫问题的相关子问题。

1.Poj 3517   And Then There Was One 

题目链接：http://poj.org/problem?id=3517

题意：固定开始点不是1，而是m。

先去掉一个数,转换成n-1个数的约瑟夫环问题,再将最后结果s=(m+s)%n+1即可.

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 #define Maxn 10100

 int f[Maxn];
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("in.txt","r",stdin);
     #endif
     int n,m,k;
     while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF)
     {
         if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break;
         f[1] = 0;
         for(int i=2;i<=n;i++)
         {
             f[i] = (f[i-1] + k)%i;
         }
         printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1);
     }
     return 0;
 }

2.Hoj 1016 Joseph's problem I

题目链接：http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=1016

每次的间隔是是质数。我们只要预处理筛一次区间范围内的质数即可。

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 #define Maxn 50000

 int prime[Maxn];
 int vis[Maxn];
 int get_Prime(int n)
 {
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     int np = 0;
     for(int i=2;i<=n;i++)
     {
         if(!vis[i]) prime[np++] = i;
         long long t;
         for(int j=0;j<np && (t = prime[j]*i)<=n;j++)
         {
             vis[t] = 1;
             if(i%prime[j] == 0) break;
         }
     }
 }

 int f[Maxn];
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("in.txt","r",stdin);
     #endif
     get_Prime(Maxn);
     int n;
     while(scanf(" %d",&n)!=EOF && n!=0)
     {
         f[1] = 0;
         for(int i=n-2;i>=0;i--)
         {
             f[n-i] = (f[n-i-1] + prime[i]) % (n - i);
         }
         printf("%d\n",f[n]+1);
     }
     return 0;
 }

3.Hoj 1107 Joseph's problem II

题目链接：http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=1017

k个good guys ,k个bad guys,每次不能杀掉good guy,问最小的m.

解题方法：类似于数组模拟。每次变更start 和end的范围。每次杀掉一个人。下一个的编号变为0。

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 #define Maxn 10100

 int f[15];
 bool solve(int k,int m)
 {
     int start = 0,end = k - 1;
     bool flag = true;
     for(int i=2*k;i>k;i--)
     {
         int kill = (m-1)%i;
         if(kill>=start && kill<=end)
         {
             flag = false;
             break;
         }
         start = ((start - m)%i + i)%i;
         end = ((end - m)%i + i)%i;
     }
     return flag;
 }
 void init()
 {
     for(int k=1;k<14;k++)
     {
         for(int m=k+1;;m++)
         {
             if(solve(k,m))
             {
                 f[k] = m;
                 break;
             }
         }
     }
 }
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("in.txt","r",stdin);
     #endif
     init();
     int k;
     while(scanf(" %d",&k)!=EOF && k!=0)
     {
         printf("%d\n",f[k]);
     }
     return 0;
 }