中国剩余定理。

中国剩余定理。

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 题中3、4、5三个数两两互质。 则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。 为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×1＋45×2＋36×4=274， 因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。 例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 题中3、7、8三个数两两互质。 则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。 为了使56被3除余1，用56×2=112； 使24被7除余1，用24×5=120。 使21被8除余1，用21×5=105； 然后，112×2＋120×4＋105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。 例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。 则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。 为了使88被5除余1，用88×2=176； 使55被8除余1，用55×7=385； 使40被11除余1，用40×8=320。 然后，176×4＋385×3＋320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目） 题中9、7、5三个数两两互质。 则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×5＋225×1＋126×2=1877， 因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。 例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目） 题中9、7、5三个数两两互质。 则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×6＋225×2＋126×3=2508， 因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。 （例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）

 

先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（       ）。

（2006-5）÷10=200....1

17+35*200+1=7018

前面的62810数字和为17

后面开始，以“1123581347”为循环节

共循环10次，每次的和为35

最后余1，就加上1

所以结果是17+35*200+1=7018

例子：PKU 1006

因为只有三个数23 28 33 且三个数两两互为质数，所以“中国剩余定理”可知
对于每一组输入数据p, e ,i, d，所求结果为：n = (R1*p + R2*e + R3*i)%21252-d
其中 R1%p=1, R2%e=1, R3%i=1;
R1 = 5544 = 28*33* 6;      //28 33 的公倍数中能被23除余1的最小整数
R2 = 14221 = 23*33*19;   //23 33 的公倍数中能被28除余1的最小整数
R3 = 1288 = 23*28* 2;      //23 28 的公倍数中能被33除余1的最小整数
       为了保证结果大于等于1且小于等于21252，结果修正为：n = (R1*p + R2*e + R3*i - d + 21252)%21252，并且如果n为0，则n = 21252为所求。

问题简单来说就是 a = ai (mod ni)   求未知数a,
 以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:
      设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有:  a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:
      对于 a=ai  (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni;   ci = mi(mf  mod ni);   其中 mi*mf  mod ni = 1;
         则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck)      (mod n)      (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
                     mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

代码如下:

#include  < iostream >
#include  < cmath >
using   namespace  std;

const   int  MAXN  =   100 ;
int  nn, a[MAXN], n[MAXN];

int  egcd( int  a,  int  b,  int   & x,  int   & y) {
     int  d;
     if  (b  ==   0 ) {
        x  =   1 ; y  =   0 ;
         return  a;
    }  else  {
        d  =  egcd(b, a % b, y, x);
        y  -=  a / b * x;
         return  d;
    }
}

int  lmes() {
     int  i, tm = 1 , mf, y, ret = 0 , m;
     for  (i = 0 ; i < nn; i ++ ) tm  *=  n[i];
     for  (i = 0 ; i < nn; i ++ ) {
        m  =  tm / n[i];
        egcd(m, n[i], mf, y);
        ret  +=  (a[i] * m * (mf % n[i])) % tm;
    }
     return  (ret + tm) % tm;
}