01背包问题和完全背包问题
在hihocoder上面的题目中看到的这个问题，总结一下。先看01背包问题。
01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。
动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。
这就得出了状态转移方程：
f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。
可以写出代码测试：
#include<iostream>
using namespace std;
#define V 1500
unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
else
f[i][j]=f[i-1][j];
}
cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解
}
在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。
再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。
for i=1……N
for j=M……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
#include<iostream>
using namespace std;
#define V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=M; j>=1; j--)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<<f[M]<<endl;//输出最优解
}
在看完01背包问题，再来看完全背包问题： 一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
对比一下，看到的区别是，完全背包问题中，物品有无限多件。往背包里面添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加。那么状态转移方程为：
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]
使用内存为一维数组，伪代码
for i=1……N
for j=1……M
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题（i-1 种物品）的基础上来解决当前问题（i 种物品），向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品），向i种物品时的背包添加第i种物品。代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
#define V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<<f[M]<<endl;//输出最优解
}