中国剩余定理

 

中國剩餘定理/中国剩余定理
2008-05-25 15:37

如要討論中國利餘定理,同餘(congruence)的概念可算是必須,但因當中可能有較複雜的混算或較高層次的數學,請讀者忍耐。

  給定一個正整數n,我們說兩個數a、b是對模n同餘,如果a-b是n的倍數。用符號a≡b(mod n)來代表。一般來說,a≡b(mod n)等同於a=b+kn,而a,b,k,n都是整數,所以,13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。

  但同餘並不只是一個代號,而是有很方便和有趣的特性。(一)整數加法跟普通加法相似,a+c≡(b+c)(mod n);(二)整數乘法跟普通乘法相似,ac≡bc(mod n),而a,b,c,n都是整數。但如果ac≡bc(mod n),則不一定a≡b(mod n)。

  以「鬼谷算」為例,假設x是那個未知數,而除3,5,7後的餘數分別為r1,r2,r3。因此有
x≡r1(mod 3)
x≡r2(mod 5)
x≡r3(mod 7)

而另一方面,
70=(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7)
21=(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7)
15=(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5)

由同餘的特性,我們有
70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7)
21r2≡r2(mod 5)、21r2≡0(mod 3)及21r2≡0(mod 7)
15r3≡r3(mod 7)、15r3≡0(mod 3)及15r3≡0(mod 5)

因此亦有
70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3)
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5)
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7)

最後得到這個精彩的結果,x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105),而105正便是3,5,7的最小公偣數。所以其實在很多數字可以滿足這幾個餘數條件的,要找到最小值才要減105。

  由以上的推導方法,我們可以知道,無論餘數是多少,也可運用這個方法;而且無論除數有多少個,也可用同一個推導的方法找到一公式來計出符合條件的未知數。而這種一般的解法便是「中國剩餘定理」。

  網主在中學時代經已接觸「鬼谷算」,那時候對同餘不大認識,對「鬼谷算」的意義、內藏的玄機和方法的原理,都認識不深,只覺這道題目跟餘數有關,隨即想到「素數公式」的問題,究竟用這種方法,可否構造到素數呢?而餘數及素數間又有何關係呢?

  經過了很複雜的嘗試(並非證明),發現了構造或尋找素數的「簡單」方法,即可以用電腦編一個十分簡單的程序,搜出所有任意指定範圍內的素數。

  其實,用利用中國剩餘定理,再用已知的素數為除數,設已知首n個的素數,而且第n個素數是p,只要代入不同的餘數,如果所計算出來的結果是介乎p及p2之間,則這個必定是素數,而且因為p及p2之間必有素數存在(網主曾在某書本看過這個定理,但出處卻已忘記),所以利用這個方法,可以找出所要求的素數。

  當然,這個結果只是很膚淺和簡單,網主只希望透過這網頁跟讀者分享。

你可能感兴趣的:(中国剩余定理)