康托展开

康托展开：X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。

康托展开可以求出 某数列的 一个全排列 是 这些数的所有全排列 里第几大的一个全排列。它也可以当一个哈希函数来用。当然这里针对的是0-9这十个数字。一般用的都是1-9.0的貌似没怎么看到过。有点孤陋寡闻了。

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

康托展开的an 的值是，对第n位数（从右往左数第n位），前面n-1位数有多少个数的值是比它小的。有多少个，an的值就是多少。

贴上代码：

int cantor_unfold(int p[],int n){
    int i, j, count, ans = 0;
    
    int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
    
    for(i = 1; i <= n; i ++){
        count = 0;
        for(j = i + 1; j <= n; j ++){
            if(p[j] < p[i]) count ++;
        }
        ans += count * fac[n - i];
    }
    return ans + 1;
}

如果我们想知道 1 - n 的所有全排列里第 i 大的全排列是什么样的时候，此时我们可以用康托逆展开来推出这个全排列。

1、首先将 i  = i - 1;

2、得出 它的康托展开值。

3、然后 令 y = i % (n - 1)!, x = i / (n - 1)! ;

4、x表示第n位数是前n-1位数里有x个位比它小的数，所以从第j  = 1位开始看。

5、若第 j 位数 已经取过，转6，否则 将已经算得的 t 位数是小于第n位数的 t 值 再+1， 若t == x + 1，则转7，否则，转6

6、j++,转 4

7、--j，第n位的值即为，j， 若--n 为0，转8，否则，令i = y, 转3

8、输出排列，结束。 

附上代码：

void Cantor_inverse_unfolding(int p[],int num,int n){
    int i, j, y, t, x;
    int boole[MAXV] = {0};
    int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
    num --;
    for(i = n - 1; i >= 0; i--){
        x = num / fac[i];
        num = num % fac[i];
        for(j = 0,t = 1; j <= x; t++)
        if(!boole[t])j++;

        p[n - i] = --t;//之所以--t 就是因为j要自加x+2次才会退出循环，而我们只需要知道j自加x+1次时的t值，所以--t；
        boole[t] = 1;
    }
    return ;
}

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