RSA公钥密码体制
中国剩余定理
《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”意思是，有一些物品，如果3个3个地数，最后剩余2个；如果5个5个地数，最后剩余3个；如果7个7个地数，最后剩余2个；求这些物品一共多少个？
这就是中国剩余定理，或称孙子定理。明代数学家程大位把这个问题的算法编程四句歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团员正半月，除百零五便得知。”意思是，一个数用3除，所得余数乘以70；用5除，所得余数乘以21；用7除，所得余数乘以15；最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数了。
《孙子算经》中这个问题的解法是：70x2+21x3+15x2=233, 233-105x2=23。我们做如下思考：
70是5和7的公倍数，且被3除余1；
21是3和7的公倍数，且被5除余1；
15是3和5的公倍数，且被7除余1。
这样任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余数，且该积仍然能被其他两个除数整除。因此，三个积相加并不互相影响各自被对应除数除后所得的余数。
即70a+21b+15c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数。
欧拉函数
设m是一个正整数，则m个整数0,1,2,...,m-1中与m互质的整数的个数，记作φ(m)。例如：m=10，与10互质的整数为1,3,7,9，所以φ(m)=4，称为欧拉（Euler）函数。
第1种情况：φ(1)=1；
第2种情况：当n是质数时，φ(n)=n-1；
第3种情况：当时，，其中p为质数，证明：只有当一个数不是p的倍数时，才能与n互质，p的倍数有1xp, 2xp, 3xp, p^(k-1)xp，共p^(k-1)个；
第4种情况：当
时，，其中p1和p2是互质的两个数，证明具体请参考《信息安全数学基础 陈恭亮 编著》；
第5种情况：n有标准因数分解式
，则
其中p是质数，证明：
欧拉定理
欧拉定理（Euler）设整数m＞1，整数a满足(a, m)=1，则aφ(m) ≡ 1(mod m)，欧拉定理证明略。证明比较复杂，需要先看懂《信息安全数学基础》前两章的很多定理。
费马小定理（Fermat）设p是一个质数，则对任意整数a，有ap ≡ a(mod p)，证明：
(a)若a被p整除，则同时有 a ≡ 0(mod p)，与ap ≡ 0(mod p)，因此ap ≡ a(mod p).
(b)若a不被p整除，则(a, p)=1，注意φ(p) = p-1，根据欧拉定理有ap-1 ≡ a(mod p)，则进一步可得
p|ap-1 - 1，所以p|ap - a，即ap ≡ a(mod p)。
模m可逆元 如果存在整数a，m使得(a, m)=1，那么一定可以找到整数a'，使得aa' ≡ 1(mod m)，则a叫做模m可逆元，这时a'叫做a的模m可逆元，记作a' ≡ a-1 (mod m)。欧拉定理就是拿来证明模m可逆元的存在的，推导如下：aφ(m) = a x aφ(m)-1 ≡ 1(mod m). 可以得出aφ(m)-1就是a的模m可逆元。
RSA算法
下面我们先介绍RSA算法，
(1)随机选择两个素数，p=17，q=11；
(2)计算n=pq=17x11=187；
(3)计算φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)=16x10=160，欧拉函数第2、4种情况；
(4)选择e使得(e, φ(n))=1且小于φ(n)，这里选择e=7；
(5)确定d使得de≡1 mod φ(n)且d<φ(n)，根据模m可逆元可知，d一定存在；
(6)公钥Kpublic={e, n}，私钥Kprivate={d, n}，加密算法Y=Xe mod n，解密算法X=Yd mod n，接下来证明解密结果一定等于原文，我们仅需证明X=Yd mod n=(Xe)d mod n=Xed mod n，
我们可知ed=k·φ(n)+1，现分2种情况：
①X与n互质，即(X, n)=1时，根据欧拉定理有Xφ(n) ≡ 1(mod n)，根据取模运算性质(a·b)%p = (a%p · b%p)%p可知Xk·φ(n) % n = 1，即Xk·φ(n) ≡ 1(mod n)，再有Xk·φ(n)+1 ≡ X(mod n)，即Xed ≡ X(mod n)，成立.
②X与n不互质，即(X, n)=p或(X, n)=q，不妨设X=ap，又由于X<n（n值一般取很大，后面解释），所以X不可能被q整除，否则就变成X=a'pq>=n，即(X=ap, q)=1，根据欧拉定理有Xφ(q)≡1(mod q)，进一步可推出
Xkφ(p)φ(q)≡1(mod q)，即Xkφ(pq)≡Xkφ(n)≡1(mod q)，改写成Xkφ(n)=1+bq，两边同乘以X，得到
Xkφ(n)+1=X+bqX，则Xed=X+bqap=X+k'pq=X+k'n，Xed ≡ X(mod n)，成立.
证毕。
RSA可靠性
在RSA算法中，出现p, q, n, φ(n), e, d，其中公钥<e, n>，私钥<d, n>，我们想要从公钥获得d，需要知道φ(n)，而φ(n)的计算需要p跟q，当n极大时穷举得到φ(n)不太可行，分解n得到p跟q也不太可行（大整数的因数分解一直是一个数学难题，例如无法一眼看出3233=61×53，只能穷举），所以RSA算法是可靠的。这里n极大，也就自然造成了X<n。
RSA例子
假设输入明文M=88，加密时，887 mod 187 = 11，密文为11；解密时，1123 mod 187 = 88，得到明文88.
Reference
什么是中国剩余定理
RSA算法原理（一）
RSA算法原理（二）
《密码编码学与网络安全——原理与实践（第五版）》 [美] William Stallings 著
《信息安全数学基础》 陈恭亮 著