【BZOJ2154】Crash的数字表格

2154: Crash的数字表格
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB
Submit: 1302 Solved: 517
[Submit][Status][Discuss]
Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5

Sample Output
122

【数据规模和约定】

100%的数据满足N, M ≤ 107。

HINT

Source

数论

写吐了反演之后颓了颓别的水题然后继续回来反演╮(╯▽╰)╭
首先

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)=∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)

显然可以枚举gcd(i,j)的值乱搞
但是上面的i*j很烦人
所以我们来换一种反演姿势不用那种水题反演了= =
通常情况下我们的反演函数都是单参数的,那为什么不开个脑洞试试双参数呢?
令

f(x,y)=∑i=1x∑j=1yi∗j(gcd(i,j)=1)

对应

F(x,y)=∑i=1x∑j=1yi∗j

少了一个限制条件.考虑怎样使用反演公式.
很显然 F(x,y)=x(x+1)2⋅y(y+1)2 这样可以很快得出F(x,y)的值.当然这对我们找他们两个的关系并没有任何帮助233只是到时候程序跑起来快些虽然很关键但是目前为止并不必要
还是来从原始公式找一找关系:
如果我们想要求f,那肯定要先想枚举gcd(i,j)=1之类的东西
既然f里gcd(i,j)=1,那么i*j就可以变成一大坨互异素数的乘积,那下剩下那些i*j很显然是含有平方因子的数.这些数的 μ 当然是0,也就是说我们可以考虑一个 μ(...)F(...,...) 这样形式的式子.
为了让那些 μ 是0的数显而易见一些,我们假设f是这样的东西:

f(x,y)=∑i=1min(x,y)μ(i)F(...,...)

考虑我在反演笔记里的反演公式形式1,也就是最普遍原始的反演公式: f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
当然想到搞成

f(x,y)=∑i=1min(x,y)μ(i)F(⌊xi⌋,⌊yi⌋)

至于证明方式,跟当时普通单参数的证明方式类同.
做出这个式子之后观察一下,发现:不对!等式左右两边并不相等!(就算一眼看不出来写个程序验证一下也知道了= =)
似乎还差了一点什么…让我们调用我们敏锐的观(nao)察(bu)力,是不是这样就好了↙:

f(x,y)=∑i=1min(x,y)i2⋅μ(i)F(⌊xi⌋,⌊yi⌋)

至此这两个双参函数的反演完成.我们开始着手应对原题要求的答案.
已有:

ans=∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)

我们令 k=gcd(i,j) 枚举gcd之后发现可以和上面f和F互推一样的方式发展成:

ans=∑k=1min(m,n)k2⋅f(⌊nk⌋⌊mk⌋)k

=∑k=1min(m,n)k⋅f(⌊nk⌋⌊mk⌋)

因此用枚举除法取值的方法处理 ⌊nk⌋⌊mk⌋ ,这一步复杂度 O(n√) ,而f函数里面还有一个 F(⌊xi⌋,⌊yi⌋) ,所以再对外层枚举的每一步内枚举这个取值,又是一个 O(n√) ,最后 O(n) 愉快解决(虽然常数会比较大)
在上面的公式里一直开了一天多脑洞才搞出来的我终于得到了解脱QωQ
注意:这题最蛋疼的并不是公式,而是很多细节的处理
由于答案需要用到LongLong而且有取模的过程,会出现很多蛋疼的情况
如果你像我一样手残打错个括号什么的,请享受这份调代码的愉♂悦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000010
#define P 20101009
using namespace std;
bool not_prime[MAXN];
int prime[MAXN],top;
int mu[MAXN]={0,1};
long long prev[MAXN];
long long ans;
int n,m;
void check_prime()
{
    for (int i=2;i<=max(n,m);i++)
    {
        if (!not_prime[i])
            prime[++top]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=max(n,m);j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
long long Calc(long long x)
{
    return (x%P)*((x+1)%P)%P*10050505%P;
}
long long get_f(int a,int b)
{
    int last=0;
    long long ret=0;
    for (int i=1;i<=min(a,b);i=last+1)
    {
        last=min(a/(a/i),b/(b/i));
        ret+=(Calc(a/i)*Calc(b/i)%P)*(prev[last]-prev[i-1])%P;
        ret%=P;
    }
    return ret;
}
long long get_ans(int x,int y)
{
    long long ret=0;
    int last=0;
    for (int i=1;i<=min(x,y);i=last+1)
    {
        last=min(x/(x/i),y/(y/i)); ret+=get_f(x/i,y/i)*(Calc(last)-Calc(i-1))%P;
        ret%=P;
    }
    if (ret<0) ret=(ret+P)%P;
    return ret;
}
int main()
{
    freopen("nt2011_table.in","r",stdin);
    freopen("nt2011_table.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    check_prime();
    for (int i=1;i<=max(n,m);i++) prev[i]=(prev[i-1]+(long long)i*i*mu[i])%P;
    long long ans=get_ans(n,m);
    cout<<ans<<endl;
}