【bzoj3930】选数 递推

       看了一下popoqqq爷的莫比乌斯反演,果断弃疗。还是写递推好,又短又快。

       令f[i]表示当数不全相等时(为什么如此,后面再说),最小公倍数为i*K的方案,那么:

       首先,当公倍数(注意不是最小)为i*K时,总方案数X^N-X,其中X表示L~R中i*K的倍数,再减去重复的方案:Σ(u=2,i*K*u<=R-L)f[u*i],从而:

       f[i]=X^N-X+Σf[j](i|j)

       注意到,由于f[i]表示数不全等时的方案,所以f[1]并不是最终方案。如果L<=K<=R,那么答案还要再加上1。

       实际上,如果没有不全相等的条件,也是可做的,但是此时在上边的递推式中j的范围需要超过R-L,会TLE。(具体说不清楚,可以写个程序测试一下)。

AC代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;

int n,m,l,r,f[200005];
int ksm(int x,int y){
	int sum=1;
	for (; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if (y&1) sum=(ll)sum*x%mod; 
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r);
	if (l<=m && m<=r) f[1]++;
	l=(l-1)/m; r/=m; int i,j;
	for (i=r-l; i; i--){
		int x=l/i,y=r/i; f[i]+=(ksm(y-x,n)-(y-x)+mod)%mod;
		for (j=i<<1; j<=r-l; j+=i) f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",f[1]);
	return 0;
}

by lych

2016.2.3

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