JeremyGJY
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【数论】关于乘法逆元的证明

首先我们需要知道

aϕ(p)≡1modp
那么为什我们要用乘法逆元呢？
答：在 ab%p 的时候如果 a 太大的话，long long也无法承受，所以我们转换成另一种方式 (a×k)%p 来替换那么我们就可以将分子的大小限制在 p 以内，那么就不会发生这样的情况，所以我们令 k 为 b 的乘法逆元，那么我们该如何求呢？首先根据（p是一个质数）所以我们有
bϕ(p)≡1modp
b×bϕ(p)−1≡1modp
那么此时有 bϕ(p)−1 为 b 的乘法逆元，我们可以带入实验一下
(a×k)%p=(a×bϕ(p)−1)%p=a×bϕ(p)b%p
根据上面可以发现
ab×bϕ(p)%p
因为 % 运算满足分配律所以
ab%p×(bϕ(p)%p)=ab%p
当然这一切的前提都是 b 与 p 互质。。。

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