关于二分图匹配的基本应用的一些见解（最大独立点集、最小点覆盖、最小路径覆盖）

------------------------------------------------------最大独立点集-------------------------------------------------------------

在一个二分图中，能够选取的最大的点的集合，其中的任意两个点相互都不连接

我的理解：

首先定义两个点集，一个点集命名为S，就是最大独立点集，另一个点集命名为T，就是最小边覆盖集

1.首先作为一个二分图是能够求得最大匹配的，然后会发现匹配之后会有一些空闲的点，那么这些点，设为u一定是属于S的，因为如果它存在边，那么一定连向已经匹配上的点，所以只需要将那个已经匹配上的点扔到T集，就不可能再存在点与u相连，证明显然，如果存在未匹配的点与u存在边，那么一定存在更大的匹配，与题设的最大匹配矛盾，那么我们就可以确定这些空闲的点在S集合中，那么与他们相连的已经匹配上的点存在于T集中。

2.接下里已经确定T集的一些点，对于已经匹配上两个点，不可能同时存在于T集，因为对于二分图来说，设两个集合为左集和右集，u属于左集，v属于右集，两个集合内部是不可能有边相连的（根据二分图的定义），所以一定是左集的空闲点推出右集的已匹配点属于T点，反向同理，所以如果一个匹配的两个点，都与空闲点相连，那么可以通过交叉连接，得到更大的匹配，那么我们就证明了一个很有用的结论，就是同一条匹配的两个点一定是只有一个点属于T集

3.那么剩下的不能确定已经匹配的点怎么办，那么只需要满足上一步证明的结论就可以，讲左右两个匹配一个扔到T集，一个扔到S集，就可以了

所以一下子证明三个结论：

1.最小边覆盖集与最大独立点集互为补集，因为S集中不存在边，如果S集中点在原二分图有边的话，又一定是和T集中点相连的，所以T集中的点一下子就涵盖了所有的边

2.我们随便想一下，就能知道最小边覆盖集的规模=最大匹配数，因为每个每个匹配只有一个点属于T集，而空闲点全部属于S集，那么最小边覆盖点集当然就等于最大匹配数了

3.所以，最大独立点集=点的总数-最小边覆盖点集的点数

-------------------------------------------------最小边覆盖点集----------------------------------------------------------------

在一个二分图中，覆盖所有边的最少的点的数量

上面一不小心就把最小边覆盖点集也给介绍了。。。。。

最小边覆盖点集=二分图的最大匹配数

------------------------------------------------最小路径覆盖---------------------------------------------------------------------

在一个二分图，用最少的不相交的路径覆盖所有的点（每个边只能被一个路径持有），路径的条数

1.在有向无环图中的最小不相交路径覆盖

首先我们来看如何建图，我们对于图中的一个点A,拆分为Ax 和Ay ，分别属于新建出二分图的左集和右集，然后如果存在一条有向边A-->B,那么建边Ax--By,那么有向无环图就转化为了一个无向二分图，那么对于每个孤立的点我们都可以当成是一条路径，因为是一条路径，所以每个点拆分的第一个点承受出度，拆分出的另一个点负责出度，入度和出度智能同时为1，或者只有一个为1，那么正好满足二分图的最大匹配，也可以这样想，因为无环，所以不可能有自环，任意点P都不存在Px--Py,所以考虑Px连向其他点，如果超过一条，那么相当于当前的出度为2，那么就变成了一条二岔路，就不再是路径，矛盾！！所以最大匹配数是路径合并的极限，那么最小路径覆盖就是原图的总点数-新建二分图的最大匹配数

2.在有向无环图中最小相交路径覆盖

只需要利用floyd求一下传递关系闭包，然后所有能够到达的点就连接上了，然后无形中加了一些本来不存在，但可以通过走重复的边得到的边，就转化为了1中的情况