怎么判断一个数能不能被某个数整除。

文章内容来源趣味数学。 发现都是一些小技巧。所以就积累下来了。

本文的某个数有：7,11,12,15,18,45,13.

首先是11:

怎样判断一个数能不能被11整除？

　　判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没有直接判断的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位差法。

　　（1）割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。

　　例如：4708……割去末位8

因此，4708能被11整除。

　　在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。

通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。

　　（2）奇偶位差法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。

　　例如①：判断283679能不能被11整除。

　因此，283679能被11整除。

　　②判断480637能不能被11整除。

因此，480637不能被11整除。

　　上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。

　　9÷9=1 9÷11（不能整除）

　　99÷9=11 99÷11=9

　　999÷9=111 99÷11（不能整除）

　　9999÷9=1111 9999÷11=909

　　99999÷9=11111 9999÷11（不能整除）

　　999999÷9=111111 999999÷11=90909

　　…… ……

　　由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被11整除。

　　当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。

　　如：11÷11=1

　　1001÷11=91

　　300003÷11=27273

　　……

　通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不能被11整除，从中也可以进一步理解这种判断方法的算理。

　　8712=8000+700+10+2 ①

　　偶 奇 偶 奇

　　偶位上的数可以写成：

　　8000=8×1000=8×（1001-1） ②

　　10=1×10=1×（11-1） ③

　　奇位上的数可以写成：

　　700=7×100=7×（99+1） ④

　　把②③④式代到①式中去。

第一个括号中所得的结果，肯定能被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二个括号中所得的数，而第二个括号中的数，恰恰是奇位数字与偶位数字之差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。

<7>

怎样判断一个数能不能被7整除？

　　判断一个数能不能被7整除，不象判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。

　　割减法的过程是这样的：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被7整除。

　　例1：判断3164能不能被7整除。

因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。

　　检验：3164÷7=452.

　　对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。

这个割减的过程，并不需要笔算，口算就可以完成。关于割减法的算理，即：为什么要先割去末位上的数字，然后再从留下的数字中减去割去数字的2倍？这与能不能被7整除有什么关系？讲清这个算理，先观察一下21的倍数有什么特点。

从表中可以看到，21的倍数恰好是前位数字是末尾数字的2倍。那么，把一个数割去末位数字，再从前位减去末位数字的2倍，不正是减去21的倍数吗？如例1中割去84，不就是割去末位数字4的21倍吗？

　　由于21=7×3，21包含3个7，所以减去21的倍数，也就是减去7的倍数。由此可以看出：判断一个数能不能被7整除所用的割减法，其依据就是利用了21的倍数的特点。

　　如果一个数连续减去7的倍数，而余下的数也是7的倍数，那么原来这个数也必然是7的倍数，因而也能被7整除。

这个过程不一定书写出来，也可以在口算中进行。

　　因为用割减法连续减去的是21的倍数，如果最后的结果还是21的倍数，那么这个数既能被7整除，还能被21整除，当然也能被3整除。

　　例2：判断2583，5264能不能被7和21整除。

2583能被7整除；也能被21整除。

　　检验：2583÷7=369

　　2583÷21=123

5264能被7整除，不能被21整除。

　　检验：5264÷7=752

　　5264÷21=250……14

<13>

怎样判断一个数能不能被13整除？

　　一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差如果能被13整除，那么原来的这个多位数就能被13整除。

　　例如：判断383357能不能被13整除。

　　383357这个数的末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之差是383-357=26。

　　∵26能被13整除，

　　∴383357也能被13整除。

　　又如：判断35062能不能被13整除。

　　35062这个数的末三位数是62，末三位以前的数字所组成的数是35，这两个数之差是：62-35=27。

　　∵27不能被13整除，

　　∴35062也不能被13整除。

　　这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。

<12、15、18、45>

怎样判断一个数能不能被12、15、18、45整除？

　　判断一个数能不能被12、15、18、45整除都没有直接的方法，可以按照前面提到的判断被6整除的做法，从而找出一个间接的方法来。

　　（1）怎样判断一个数能不能被12整除。

　　因为12=3×4 a÷12=a÷3÷4

　　由此可以得出：如果一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定能被12整除。判断被3和4整除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条件,这个数就一定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，这个数就一定能被12整除。

　　例如：判断3084能不能被12整除。

　　3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，

　　15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。

　　检验：3084÷12=257

　　又如：判断4734能不能被12整除。

　　4734的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34不是4的倍数，所以4734不能被12整除。

　　检验：4734÷12=394……6

　　（2）判断一个数能不能被15整除。

　　因为15=3×5 a÷15=a÷3÷5

　　由此可以得出：一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被15整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。

　　例如：判断8715能不能被15整除。

　　8715的各位数字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以8715这个数能被15整除。

　　检验：8715÷15=581

　　（3）判断一个数能不能被18整除。

　　因为18=2×9 a÷18=a÷2÷9

　　由此可以得出：一个数既能被2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末位数字是0、2、4、6、8的数，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被18整除。

　　例如：判断52416能不能被18整除。

　　52416的末位数字是6，能被2整除，而52416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍数，因此，52416一定能被18整除。

　　（4）判断一个数能不能被45整除？

　　因为45=5×9 a÷45=a÷5÷9

　　由此可以得出：一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数的末位数字是5或0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45整除。

　　例如：判断98865能不能被45整除。

　　98865的末位数字是5，可以被5整除，98865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍数，因此，98865一定能被45整除。

　　使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个问题，即：一个数所分解的两个数，这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。

　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2与6并不是互质数，且6=2×3，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整除的数就能被12整除的错误结论。

　　如果18=3×6，3与6这两个数也不是互质数，6又可以分解成2×3，这样，3又重复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6整除的数就能被18整除的错误结论。事实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整除。