bzoj1336&1337 最小圆覆盖

1336: [Balkan2002]Alien最小圆覆盖

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Description

给出N个点，让你画一个最小的包含所有点的圆。

Input

先给出点的个数N,2<=N<=100000，再给出坐标Xi,Yi.(-10000.0<=xi,yi<=10000.0)

Output

输出圆的半径，及圆心的坐标

Sample Input

6
8.0 9.0
4.0 7.5
1.0 2.0
5.1 8.7
9.0 2.0
4.5 1.0

Sample Output

5.00
5.00 5.00

经典模型，随机增量法求最小圆覆盖。

假如已经求出了前i-1个点的最小圆覆盖，假如第i个点后，如果不在所求的圆內，那么这个点一定在新圆的边界上。这样我们只要枚举另外两个点就可以了，因为三点确定一个圆。

枚举方法为：从1-(i-1)枚举一个不在圆內的点j，再从1-(j-1)枚举一个不在圆內的点k，那么i j k三点就可以确定一个圆。(注意三点共线的特殊情况)

这样的枚举方法一定可以保证枚举到所有的点对，从而保证所有点在圆內且圆最小。(傻傻的我想这个想了好久……)

这样的枚举复杂度看似是O(n^3)，但在顺序随机的情况下可以证明复杂度是O(n)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n;
double r;
struct P
{
	double x,y;
	friend P operator +(P a,P b){return (P){a.x+b.x,a.y+b.y};}
	friend P operator -(P a,P b){return (P){a.x-b.x,a.y-b.y};}
	friend P operator /(P a,double b){return (P){a.x/b,a.y/b};}
}p[maxn],t;
inline double dis(P a,P b)
{
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
inline P rev(P a)
{
	return (P){a.y,-a.x};
}
inline P centre(P a,P b,P c)
{
	if (fabs((a.x-b.x)*(a.y-c.y)-(a.x-c.x)*(a.y-b.y))<=eps)
	{
		if (a.x<b.x) swap(a,b);
		if (a.x<c.x) swap(a,c);
		if (b.x<c.x) swap(b,c);
		return (a+c)/2;
	}
	P x1=(a+b)/2,x2=x1+rev(a-b),y1=(a+c)/2,y2=y1+rev(a-c);
	if (fabs(y1.x-y2.x)<eps) swap(x1,y1),swap(x2,y2);
	double k2=(y1.y-y2.y)/(y1.x-y2.x),b2=y2.y-y2.x*k2;
	if (fabs(x1.x-x2.x)<eps) return (P){x1.x,k2*x1.x+b2};
	double k1=(x1.y-x2.y)/(x1.x-x2.x),b1=x2.y-x2.x*k1;
	double x=(b2-b1)/(k1-k2);
	return (P){x,k1*x+b1};
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	F(i,1,n) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
	random_shuffle(p+1,p+n+1);
	t=p[1];r=0.0;
	F(i,2,n) if (dis(t,p[i])>r+eps)
	{
		t=(p[1]+p[i])/2;r=dis(p[i],t);
		F(j,2,i-1) if (dis(t,p[j])>r+eps)
		{
			t=(p[i]+p[j])/2;r=dis(p[i],t);
			F(k,1,j-1) if (dis(t,p[k])>r+eps)
			{
				t=centre(p[i],p[j],p[k]);
				r=dis(p[i],t);
			}
		}
	}
	printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf\n",r,t.x,t.y);
	return 0;
}