nyoj 954

N!

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难度： 3

描述

阶乘(Factorial)是一个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它。现在这里有一个问题，给定一个N(0<0<1000000000)，求N!的二进制表示最低位的1的位置(从右向左数)。

输入

本题有多组测试数据，每组数据一个正整数N(0<0<1000000000)，以EOF结束

输出

求N!的二进制表示最低位的1的位置(从右向左数)。一组数据占一行。

样例输入

1
2
3
4

样例输出

1
2
2
4

提示

2! = (2)10 = (10)2，则第一个1是第二位
3! = (6)10 = (110)2，则第一个1是第二位

4! = (24)10 = (11000)2，则第一个1是第四位

解题思路：

在做这个题目之前，先来看一个问题：

给定一个整数N,那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢?例如:N=10，N!=362800，N!的末尾有两个0;

 首先，最直接的算法当然是直接求出来N！然后看末尾有几个0就行了。但这里存在两个问题：

     （1）不管使用long或者double一定会产生溢出。

     （2）效率低下。

      对于问题（1），我们可以采用字符串存储的办法解决，但问题（2）是由本身算法决定的，所以只能采用其他的算法。

那 到底有没有更好的算法呢？我们来分析，N！能产生0的质数组合只能是2 * 5，也就是说当对N!进行质数分解之后，N!末尾0的个位M取决于2的个数X和5的个数Y的最小值，即M = min（X,Y）。又因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，且出现一个5的时,最少会同时出现一个2，所以M = Y。即得出Y的值就可以得到N!末尾0的个数。

计算Y，最直接的方法，就是计算机1…N的因式分解中5的个数，然后求和。

那 么还有没有更简单点的方法呢？我们想，Y还能怎么样得到？举个例子 25的阶乘中，总共有6个五，其中5,10,15,20，各贡献一个，25贡献两个，也可以说成，5,10,15,20，25各贡献一个，25又额外贡献 一个，即5的倍数各贡献一个5,25的倍数各贡献一个5,即Y=[25/5] + [25/25]。同理，125中，5的倍数各贡献一个5,25的倍数各贡献一个5,125的倍数也各贡献一个5，所以Y=[125/5] + [125/25] + [125/125],所以可得公式：

Y = [N/5] + [N/5²] + [N/5³] + …

代码如下：

long GetZeroNum(long n)
{
    long num = 0;
        while(n != 0)
        {
            num=num+n/5;
            n=n/5;
        }
    return num;
}

回到这个题目上，这个题目问的是二进制中，最低位1的位置。那么最低位1之后的肯定全为0，现在就是要找到末尾有多少个0。那么我们的想法和上面一样，找有多少个2的倍数。

AC:

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{	
	LL n,sum;
	while(cin>>n)	
	{
		sum = 0;
		while(n)
		{
			sum += n/2;
			n /= 2;
		}
		cout<<sum+1<<endl;
	}
	return 0;
}