HDU5667 Sequence(矩阵快速幂)

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题意：

问题描述

\ \ \ \    Lcomyn 是个很厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:

f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.f​n​​=​⎩​⎨​⎧​​​1,​a​b​​,​a​b​​f​n−1​c​​f​n−2​​,​​​n=1​n=2​otherwise​​

\ \ \ \    他给了你几个数:$n$,$a$,$b$,$c$,你需要告诉他f_nf​n​​模$p$后的数值.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.

\ \ \ \    每组数据一行,一行五个正整数,按顺序为$n$,$a$,$b$,$c$,$p$.

\ \ \ \ 1\le T \le 10,1\le n\le 10^{18}    1≤T≤10,1≤n≤10​18​​,1\le a,b,c\le 10^91≤a,b,c≤10​9​​,p是质数且p\le 10^9+7p≤10​9​​+7.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据输出一行一个数,输出f_nf​n​​对$p$取模后的数值.

输入样例

1
5 3 3 3 233

输出样例

190

题解：

1、我们对fn 取loga,假定取log之后是gn。g1=0,g2=b,gn=b+cg(n-1)+g(n-2)

2、针对gn我们可以利用矩阵快速幂求出，时间复杂度O(log(n))

3、注意我们这里gn求出来的是指数，所以需要求出p的欧拉函数,又因为p是质数,所以欧拉函数为p-1，模的时候模p-1。

4、求出gn,再用快速幂求出a^(gn)%p,得到最后的答案。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define PI 2*asin(1.0)
#define LL long long
#define pb push_back
#define pa pair<int,int>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson lr<<1,l,mid
#define rson lr<<1|1,mid+1,r
#define bug(x) printf("%d++++++++++++++++++++%d\n",x,x)
#define key_value ch[ch[root][1]][0]
const int  MOD = 1000000007;
const int N = 1e3+15;
const int maxn = 5e5+1000;
const int letter = 130;
const int INF = 1e17;
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-8;
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
char a[N];
int vis[N];
int main(){
    int z=1,f=0,n=0,p=1,cnt=0;
    int max1=0,min1=0;
    gets(a);
    int len=strlen(a);
    for(int i=0;i<len;i++){
        if(a[i]=='-') f++,vis[cnt++]=-1;
        else if(a[i]=='+') z++,vis[cnt++]=1;
    }
    for(int i=len-1;a[i]>='0'&&a[i]<='9'&&i>=0;i--) n+=p*(a[i]-'0'),p*=10;
    max1=z*n-f,min1=z-f*n;
    if(!(min1<=n&&n<=max1)){
        puts("Impossible");
        return 0;
    }
    puts("Possible");
    int ff,zz;
    for(zz=z*n;zz>=z;zz--){
        ff=zz-n;
        if(f<=ff&&ff<=f*n) break;
    }
    int zd=zz/z,zm=zz%z;
    int fd,fm;
    if(f) fd=ff/f,fm=ff%f;
    int flag=0;
    if(zm) flag=1,zm--;
    printf("%d ",zd+flag);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        if(vis[i]==1){
            flag=0;
            if(zm)flag=1,zm--;
            printf("+ %d ",zd+flag);
        }
        else {
            flag=0;
            if(fm) flag=1,fm--;
            printf("- %d ",fd+flag);
        }
    }
    printf("= %d\n",n);
    return 0;
}
/*
? + ? - ? - ? - ? = 100
? + ? - ? - ? - ? - ? - ? = 10
*/