2014百度之星第四题Labyrinth(DP)

Labyrinth
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Problem Description
度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？
 
Input
输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。
 
Output
对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。
 
Sample Input
2
3 4
1 -1 1 0
2 -2 4 2
3 5 1 -90
2 2
1 1
1 1
 
Sample Output
Case #1:
18
Case #2:
4

 

题解：

      拿到本题，第一想法是DFS，n=100，肯定超时。后来抓到了关键条件不能往左走，于是很自然的有了动态规划想法。总的想法是一列一列的处理，当前列根据上一列求得，每个位置依次上下比较所有可能，总的时间复杂度O(m*n*n)。

      自上而下的dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]+∑wei[k][j])，k<i；

      自下而上的dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]+∑wei[k][j])，i<k<n；

贴段代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN = 100+10;
const int INF =100*100*150;

int n, m;
int g[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];

void Sovle(int x)
{
	int i,j,tmp;
    for(i = 1; i <= m; ++i)
	{
        tmp =dp[i][x-1] + g[i][x];
        if(dp[i][x] < tmp)
			dp[i][x] = tmp;
        for(j = i+1; j <= m; ++j)
		{
            tmp +=g[j][x];
            if(tmp > dp[j][x])
				dp[j][x] = tmp;
        }
    }
    for(i = m; i > 0; --i)
	{
        tmp =dp[i][x-1] +g[i][x];
        if(dp[i][x] < tmp)dp[i][x] = tmp;
        for(j = i-1; j > 0; --j)
		{
            tmp += g[j][x];
            if(tmp >dp[j][x])
				dp[j][x] = tmp;
        }
    }
}

int main()
{
	int i,j,cas,tag=1;
	scanf("%d", &cas);
	while(cas--)
	{
        scanf("%d%d", &m, &n);
        for(i = 1; i <= m; ++i)
		{
            for(j = 1; j <= n; ++j)
			{
                scanf("%d", &g[i][j]);
                dp[i][j] = -INF;
            }
        }
        dp[1][1] = g[1][1];
        for(i = 2; i <= m; ++i)
		{
            dp[i][1] = dp[i-1][1] + g[i][1];
        }
        for(i = 2; i <= n; ++i)
		{
            Sovle(i);
        }
        printf("Case #%d:\n%d\n",tag++, dp[1][n]);
	}
	return 0;
}