POJ2429 GCD&LCM Inverse(整数分解，由GCD+LCM求a,b)

 

POJ2429 GCD&LCM Inverse(整数分解，由GCD+LCM求a,b)

分类： 数论 2013-02-12 22:00  180人阅读  评论(1)  收藏  举报

题目：GCD & LCM Inverse

 

题意：给你两个数G和L分别是a,b的最大公约数和最小公倍数，求a,b。（有多组a,b的情况下取a+b最小的）

 

分析：由于 G和L分别是a，b的最大公约数和最小公倍数，那么G一定整除L，否则就没有解了。

进一步可以知道L/G的素因子分解式中，同一项不会同时出现在a，b中，因为相同的在G中已经除掉了.

 

那么有：，所以我们现在只需要枚举L/G的约数，枚举的一个x在a中，那么另一个(L/G)/x就是在b中，但是我们知道

 

,,所以思路就是对L/G先分解，因为这个数很大，所以就用Pollard-rho分解法吧，分解之后，利用

 

dfs找因子，然后每找到一个就判断一次来记录a+b最小的，然后就分析完毕。

 

 

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>

 using namespace std;
 #define LL unsigned long long

 const int Times=10;
 const LL INF=(LL)1<<61;
 const int N=550;

 LL n,m,ct,cnt,mini,mina,minb,ans;
 LL fac[N],num[N];

 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     return b? gcd(b,a%b):a;
 }

 LL multi(LL a,LL b,LL m)
 {
      LL ans=0;
      while(b)
      {
          if(b&1)
          {
              ans=(ans+a)%m;
              b--;
          }
          b>>=1;
          a=(a+a)%m;
      }
      return ans;
 }

 LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
 {
      LL ans=1;
      a%=m;
      while(b)
      {
          if(b&1)
          {
              ans=multi(ans,a,m);
              b--;
          }
          b>>=1;
          a=multi(a,a,m);
      }
      return ans;
 }

 bool Miller_Rabin(LL n)
 {
     if(n==2) return true;
     if(n<2||!(n&1)) return false;
     LL a,m=n-1,x,y;
     int k=0;
     while((m&1)==0)
     {
         k++;
         m>>=1;
     }
     for(int i=0;i<Times;i++)
     {
         a=rand()%(n-1)+1;
         x=quick_mod(a,m,n);
         for(int j=0;j<k;j++)
         {
             y=multi(x,x,n);
             if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;
             x=y;
         }
         if(y!=1) return false;
     }
     return true;
 }

 LL Pollard_rho(LL n,LL c)
 {
      LL x,y,d,i=1,k=2;
      y=x=rand()%(n-1)+1;
      while(true)
      {
          i++;
          x=(multi(x,x,n)+c)%n;
          d=gcd((y-x+n)%n,n);
          if(1<d&&d<n) return d;
          if(y==x) return n;
          if(i==k)
          {
              y=x;
              k<<=1;
          }
      }
 }

 void find(LL n,int c)
 {
      if(n==1) return;
      if(Miller_Rabin(n))
      {
          fac[ct++]=n;
          return ;
      }
      LL p=n;
      LL k=c;
      while(p>=n) p=Pollard_rho(p,c--);
      find(p,k);
      find(n/p,k);
 }

 void dfs(LL c,LL value)
 {
      LL s=1,a,b;
      if(c==cnt)
      {
          a=value;
          b=ans/a;
          if(gcd(a,b)==1)
          {
              a*=n;
              b*=n;
              if(a+b<mini)
              {
                  mini=a+b;
                  mina=a;
                  minb=b;
              }
          }
          return ;
      }
      for(LL i=0;i<=num[c];i++)
      {
          if(s*value>mini) return;
          dfs(c+1,s*value);
          s*=fac[c];
      }
 }

 int main()
 {
     while(~scanf("%llu%llu",&n,&m))
     {
          if(n==m)
          {
              printf("%llu %llu\n",n,m);
              continue;
          }
          mini=INF;
          ct=cnt=0;
          ans=m/n;
          find(ans,120);
          sort(fac,fac+ct);
          num[0]=1;
          int k=1;
          for(LL i=1;i<ct;i++)
          {
              if(fac[i]==fac[i-1])
                  ++num[k-1];
              else
              {
                  num[k]=1;
                  fac[k++]=fac[i];
              }
          }
          cnt=k;
          dfs(0,1);
          if(mina>minb) swap(mina,minb);
          printf("%llu %llu\n",mina,minb);
     }
     return 0;
 }