NJUST1722(大数分解的应用)

 

NJUST1722(大数分解的应用)

分类： 数论 2013-08-01 20:40  125人阅读  评论(0)  收藏  举报

题目：所有的平方差

题意：n = a1*a1 - b1*b1, n = a2*a2 - b2*b2, ... , n = am*am - bm*bm

其中对于任意的1<=k1,k2<=m，ak1 != ak2 或者 bk1 != bk2，并且ak1,ak2,bk1,bk2>=0

那么我们需要求的是n^(a1*a1+b1*b1+a2*a2+b2*b2+...+am*am+bm*bm)%大质数10000000019的值。

本题注意一点，由于10000000019很大，就是最后求出来的ak与ak在相乘的时候注意一下，比如ak大于10^10时，直接相乘

就会爆LL，我们这里有技巧，就是把乘法变为加法，二分加法，也就是下面的multi函数。

通过本题学到了一招，就是对于求x*x%MOD怎么处理，x与MOD大于10^10。

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <math.h>

 using namespace std;
 typedef unsigned long long LL;

 const LL Times=10;
 const LL N=555;
 const LL MOD=10000000018;

 LL ct,cnt,c,n;
 LL fac[N],num[N];
 LL arr[N];

 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     return b? gcd(b,a%b):a;
 }

 LL multi(LL a,LL b,LL m)
 {
     LL ans=0;
     while(b)
     {
         if(b&1)
         {
             ans=(ans+a)%m;
             b--;
         }
         b>>=1;
         a=(a+a)%m;
     }
     return ans;
 }

 LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
 {
     LL ans=1;
     a%=m;
     while(b)
     {
         if(b&1)
         {
             ans=multi(ans,a,m);
             b--;
         }
         b>>=1;
         a=multi(a,a,m);
     }
     return ans;
 }

 bool Miller_Rabin(LL n)
 {
     if(n==2) return true;
     if(n<2||!(n&1)) return false;
     LL a,m=n-1,x,y;
     int k=0;
     while((m&1)==0)
     {
         k++;
         m>>=1;
     }
     for(LL i=0; i<Times; i++)
     {
         a=rand()%(n-1)+1;
         x=quick_mod(a,m,n);
         for(LL j=0; j<k; j++)
         {
             y=multi(x,x,n);
             if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;
             x=y;
         }
         if(y!=1) return false;
     }
     return true;
 }

 LL Pollard_rho(LL n,LL c)
 {
     LL x,y,d,i=1,k=2;
     y=x=rand()%(n-1)+1;
     while(true)
     {
         i++;
         x=(multi(x,x,n)+c)%n;
         d=gcd((y-x+n)%n,n);
         if(1<d&&d<n) return d;
         if(y==x) return n;
         if(i==k)
         {
             y=x;
             k<<=1;
         }
     }
 }

 void find(LL n,LL c)
 {
     if(n==1) return;
     if(Miller_Rabin(n))
     {
         fac[ct++]=n;
         return ;
     }
     LL p=n;
     LL k=c;
     while(p>=n) p=Pollard_rho(p,c--);
     find(p,k);
     find(n/p,k);
 }

 void dfs(LL dept,LL product=1)
 {
     if(dept==cnt)
     {
         if(product<=(LL)sqrt(1.0*n)&&(product+n/product)%2==0&&(n/product-product)%2==0)
             arr[c++]=product;
         return;
     }
     for(LL i=0; i<=num[dept]; i++)
     {
         dfs(dept+1,product);
         product*=fac[dept];
     }
 }

 int main()
 {
     LL t,tt=1;
     LL ans,x,y;
     cin>>t;
     while(t--)
     {
         cin>>n;

         printf("Case %d: ",tt++);
         if(n==1)
         {
             puts("1");
             continue;
         }
         ct=0;
         c=0;
         find(n,120);
         sort(fac,fac+ct);
         num[0]=1;
         LL k=1;
         for(LL i=1; i<ct; i++)
         {
             if(fac[i]==fac[i-1])
                 ++num[k-1];
             else
             {
                 num[k]=1;
                 fac[k++]=fac[i];
             }
         }
         cnt=k;
         dfs(0,1);
         sort(arr,arr+c);
         ans=0;
         for(LL i=0; i<c; i++)
         {
             x=(n/arr[i]+arr[i])/2;
             y=(n/arr[i]-arr[i])/2;
             ans+=multi(x,x,MOD)+multi(y,y,MOD);
             ans%=MOD;
         }
         if(c>0) cout<<quick_mod(n,ans,MOD+1)<<endl;
         else    puts("-1");
     }
     return 0;
 }