例题4.2 好看的一笔画 LA3263

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用欧拉定理解决，设顶点数，边数，面数分别是V,E,F，则V+F-E=2。因此，F=E+2-V。我们只需要求解E和V的个数即可。V的个数：除了题目中输入的点，还有两两线段相交得到的新点，由于可能出现三线共点的情况，因此最后对于顶点还要使用一下unique函数去重。对于E的个数，首先是输入的n条边（因为是一笔画构成，那么n个点会连出n条边），接下来是去重后的顶点集中，由于一个顶点在一条线段上而产生的新的边，此时我们可以枚举每一个顶点，再枚举每一条线段，如果顶点在线段上，那么个数+1.即可得到最终边的个数，套用公式即可得到答案。

3.代码：

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s)  memset(s,0,sizeof(s))
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
//typedef pair <int, int> P;

struct Point
{
    double x,y;
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
    bool operator<(const Point&b)const
    {
        return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);
    }
};

typedef Point Vector;
Vector operator+(Vector A,Vector B)
{
    return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);
}

Vector operator-(Vector A,Vector B)
{
    return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);
}

Vector operator*(Vector A,double p)
{
    return Vector(A.x*p,A.y*p);
}
Vector operator/(Vector A,double p)
{
    return Vector(A.x/p,A.y/p);
}


const double eps=1e-10;
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<eps)return 0;
    else return x<0?-1:1;
}

bool operator==(const Point&a,const Point&b)
{
    return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
}

double Dot(Vector A,Vector B)
{
    return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
double Length(Vector A)
{
    return sqrt(Dot(A,A));
}
double Angle(Vector A,Vector B)
{
    return acos(Dot(A,B)/Length(A)/Length(B));
}

double Cross(Vector A,Vector B)
{
    return A.x*B.y-A.y*B.x;
}

double Area2(Point A,Point B,Point C)
{
    return Cross(B-A,C-A);
}

Vector Rotate(Vector A,double rad)
{
    return Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));
}

Point GetLineIntersection(Point P,Vector v,Point Q,Vector w)
{
    Vector u=P-Q;
    double t=Cross(w,u)/Cross(v,w);
    return P+v*t;
}

bool SegmentProperIntersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
    double c1=Cross(a2-a1,b1-a1),c2=Cross(a2-a1,b2-a1);
    double c3=Cross(b2-b1,a1-b1),c4=Cross(b2-b1,a2-b1);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
}

bool OnSegment(Point p,Point a1,Point a2)
{
    return dcmp(Cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(Dot(a1-p,a2-p))<0;
}

/*=======================================================*/

const int N=300+10;
Point P[N],V[N*N];

int main()
{
    int n,kase=0;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);//注意，读入的最后一个点是起点，但这里不删除它，因为枚举线段时候需要
            V[i]=P[i];
        }
        n--;  //注意：由于输入的最后一个点是起点，不应该算入！
        int c=n,e=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<n;j++)       //注意枚举的时候j从i+1开始
            if(SegmentProperIntersection(P[i],P[i+1],P[j],P[j+1]))//统计规范相交产生的交点，因为不规范的交点一定是输入的顶点
                V[c++]=GetLineIntersection(P[i],P[i+1]-P[i],P[j],P[j+1]-P[j]);  //得到的第一个交点自动把最后复制的起点替换掉了，即使没有多余的新点，在去重操作中它也会被去掉
        sort(V,V+c);
        c=unique(V,V+c)-V; //由于可能存在三线共点，因此要对顶点集去重
        for(int i=0;i<c;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)//枚举顶点和所有线段，看顶点是否在线段上，如果是，则产生一条新的边
            if(OnSegment(V[i],P[j],P[j+1]))e++;
            printf("Case %d: There are %d pieces.\n",++kase,e+2-c);
    }
}