网络最大流问题

2010-10-31 10:19:36

初学了一下网络流算法，站在前人的肩膀上，参考了不少资料，总结了一下学习经验：

准备知识：（参考资料）

1.Dijkstra算法

适用于满足所有权系数大于等于0（lij≥0）的网络最短路问题，能求出起点v1到所有其他点vj的最短距离；

朴素的Dijkstra算法复杂度为O(N^2)，堆实现的Dijkstra复杂度为O(NlogN).

2.bellman-ford算法

适用于有负权系数，但无负回路的有向或无向网络的最短路问题，能求出起点v1到所有其它点 vj的最短距离。bellman-ford算法复杂度为O(V*E)。

3.Floyed算法

适用于有负权系数，可以求出图上任意两点之间的最短路径。DP思想的算法，时间复杂度为O(N^3);

  for ( k= 1; k<= n; k++)
  {
	  for ( i= 1; i<= n; i++)
	  {
		  if (graph[i][k]!=INF)
		  {
			  for ( j= 1; j<= n; j++)
			  {
				  if (graph[k][j]!=INF && graph[i][k]+graph[k][j]< graph[i][j])
					  graph[i][j]= graph[i][k]+ graph[k][j]; 
			  }
	  }
  }

s-t最大流

两大类算法

1.增广路算法

Ford-Fulkerson算法: 残留网络中寻找增加路径

STEP0：置初始可行流。

STEP1：构造原网络的残量网络，在残量网络中找s－t有向路。如果没有，算法得到最大流结束。否则继续下一步。

STEP2：依据残量网络中的s－t有向路写出对应到原网络中的s－t增广路。对于增广路中的前向弧，置s(e)＝u(e)- f(e)。对于反向弧，置s(e)＝f（e）

STEP3：计算crement=min{s（e1），s（e2），…，s（ek）}

STEP4：对于增广路中的前向弧，令f(e)＝f(e)＋crement；对于其中的反向弧，令f(e)＝f(e)-crement，转STEP1。

关键点:寻找可增广路。决定了算法复杂度。

实现：Edmonds-Karp 通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。

优化—> Dinic算法(*)

Dinic算法的思想是为了减少增广次数，建立一个辅助网络L，L与原网络G具有相同的节点数，但边上的容量有所不同，在L上进行增广，将增广后的流值回写到原网络上，再建立当前网络的辅助网络，如此反复，达到最大流。分层的目的是降低寻找增广路的代价。

算法的时间复杂度为O(V^2*E)。其中m为弧的数目，是多项式算法。邻接表表示图，空间复杂度为O(V+E)。

2.预流推进算法

一般性的push-relabel算法: 时间复杂度达到O(V^2*E)。(*)

relabel-to-front算法->改进

最高标号预流推进:时间复杂度O(V^2*sqrt(E))

相关参考资料链接(详细图解)：http://wenku.baidu.com/view/157cf76c1eb91a37f1115c3a.html