快速幂,矩阵快速幂原理介绍

快速幂：复杂度为logn,比普通的n快了很多了.

原理 :

以求a的b次方来介绍：
首先把b转换成二进制数
该二进制数第i位的权为  2^i - 1 .
比如 : 11的二进制是1011
11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

所以假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
　　　　　　　　　　 a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

实现代码如下:(位运算，简单，简洁)

ll pow(ll x, ll y)  //位运算
{
    ll res = 1;
    while(y) {
        if (y&1)  res *= x ;   //res才是最终我们要的结果.
        x *= x ;     //一个中间转移量. y每右移一次, x 就多一个平方.
        y >>= 1 ;
    }
    return res;
}

矩阵快速幂:

思想和快速幂差不多,只是这里是矩阵 , 而那个是数的差别.

所以原理和思想就不多说了 , 然后直接上代码

while(b)
{
    if(b&1) res *= A;   //res是结果矩阵.

    A *= A;           //和快速幂一样,每一次都是乘一个平方,因为最多也是差2的几次方的问题.
    b >>= 1 ;
}

难点在于如何构造A矩阵,只要构造出来了就简单了.
不知道怎么建矩阵的请看这里,这个讲的超级好[点这里, 点这里, 看见了吗, 点这里啊](http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2013/05/19/3087648.html
)
思路就是很简单:就是矩阵快速幂,主要是建好矩阵.

提供一个骚气的写法,就可以不用每一次写矩阵形式,就是重载 * 号运算符. 代码如下:

#define Fill(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
struct Ma{
    int mat[30][30];
    int n, m;
    void cc() { Fill(mat, 0); }
    void set_size(int row, int col) { n = row; m = col; }
    Ma& operator = (const Ma &a ) {
        set_size(a.n, a.m);
        memcpy(mat, a.mat, sizeof(a.mat));
        return *this;
    }
    friend Ma operator * (const Ma &a, const Ma &b) {  // 语法规则.
        Ma tmp; tmp.cc(); tmp.set_size(a.n, b.m);
        for(int i = 1 ; i <= a.n ; i ++) {
            for(int j = 1 ; j <= b.m ; j ++) {
                for(int k = 1 ; k <= b.n ; k ++) {   // a.m == b.n;
                    if(!a.mat[i][k] || !b.mat[k][j])  continue;
                    tmp.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]); //都把这个优化加
//上, 在有些卡数的题中会遇到.(如某个校赛F题)因为一些稀疏矩阵就可以通过这样优化

                    //tmp.mat[i][j] %= mod;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
    void pfma() {
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
            for (int j = 1 ; j <= m ; j ++) {
                printf("%d%c", mat[i][j], j == m?'\n':' ');
            }
        }
    }
}res,x;     //有许多写法,这只是其中一种,我认为好理解点的!
void solve()
{
    res.set_size(1, 2);
    res.mat[1][1] = 1; res.mat[1][2] = 2;
    res.pfma();
    x = res;
    x.pfma();
    x.set_size(2, 3);
    x.mat[1][1] = 2; x.mat[1][2] = 4; x.mat[1][3] = 5;
    x.mat[2][1] = 3; x.mat[2][2] = 7; x.mat[2][3] = 8;
    x.pfma();
    Ma tmp = res * x;
    tmp.pfma();
}