题目
Number Sequence
Problem Description
A number sequence is defined as follows:
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).
Input
The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.
Output
For each test case, print the value of f(n) on a single line.
Sample Input
1 1 3
1 2 10
0 0 0
Sample Output
2
5
题目描述
题目的意思是，给出整数A,B和n，利用公式
算出f(n)的值。
题目解法
一开始是用简单的模拟来做这一题，结果提交后是超时；由于给出的n可能很大是会造成超时的原因。在上网搜索后，用了矩阵快速幂这种方法，来降低时间。矩阵快速幂是利用矩阵的乘法公式，将递推式化成下图的形式，这样问题就变成了，如何快速求前者矩阵的n-2次幂。
在求某个数的n次幂问题中，可以利用数论中的快速幂技巧。如果用最直白的方法算a^168，在程序中则需要做167次的乘法；168=128+16+4，如果将168转成二进制的话就是：10010100，
这是，只需算8*3=24次运算即可完成；下图是快速幂的代码，主要可以利用base的增长是以二进制数值形式的增长，即是从a、a^2、a^4、a^8.....这种形式增长下去。这种快速幂的技巧，在矩阵中也可以使用。
题目代码
const int N = 3;
struct Mat{
int mat[N][N];
};
Mat operator * (Mat a, Mat b) {
Mat c;
int i, j, k;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++)
for (k = 0; k < 2; k++) {
c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
c.mat[i][j] %= 7;
}
return c;
}
Mat operator ^ (Mat a, int b) {
Mat c;
int i, j;
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++)
c.mat[i][j] = (i == j);
while(b != 0) {
if (b & 1 != 0)
c = c * a;
a = a * a;
b /= 2;
}
return c;
}
int main() {
int a, b, n;
Mat matrix, result;
while (scanf("%d %d %d", &a, &b, &n) && (a || b || n)) {
if (n == 1 || n == 2) {
printf("1\n");
continue;
}
matrix.mat[0][0] = a % 7; matrix.mat[0][1] = b % 7;
matrix.mat[1][0] = 1; matrix.mat[1][1] = 0;
result = matrix^(n - 2);
printf("%d\n", (result.mat[0][0] + result.mat[0][1]) % 7);
}
return 0;
}