洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

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题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：
第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：
输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1：

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1：

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

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题解

数论

因为 (a0,x)=a1,[b0,x]=b1 ，所以， a1∗p=x,b1=x∗t ，那么， b1=a1∗p∗t=a1∗s ，

从上式可以得出 b1|a1,(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1,t=s/p

令 m=a0/a1,n=b1/b0 ，显然， s,m,n 必须为整数

则上式就转化成了 (m,p)=1,(n,s/p)=1

因为 (n,s/p)=1 ，那么，我们就可以通过从 s 中消去 s,q 的所有相同的质数得到一个数 l ，所以 (s/p)|l 即 p=(s/l)∗r 且 r|l ，而 (m,p)=1 ，所以 (r,m)=1 且 r|l ，所以，就可以从 l 消去 m,l 的所有相同的质数的到一个数 q ，那么所有的 r ，只要满足 r|q 即可

所以，只要从 1 枚举到 q√ 也就可以所有 r 的个数了（因为， r∗k=q ，而 r≤q√ ，那么 k≥q√ ）

而 x=(s/l)∗r∗a1 ，那么 x 的个数也就知道了

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代码

#include
using namespace std;

int a,b,c,d,t,m,n,s,l,q,ans;

int readln()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while ('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x;
}

int gcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

int max(int x,int y){return x>y?x:y;}

int min(int x,int y){return x<y?x:y;}

int clear(int x,int y)
{
    for (int i=2;i*i<=y;i++)
    {
        if (y%i==0) while(x%i==0) x/=i;
        while (y%i==0) y/=i;
    }
    if (y!=1) while(x%y==0) x/=y;
    return x;
}

int main()
{
    t=readln();
    while(t--)
    {
        a=readln();b=readln();c=readln();d=readln();
        if (a%b!=0||d%c!=0||d%b!=0) {printf("0\n");continue;}
        m=a/b;n=d/c;s=d/b;l=clear(s,n);
        if (gcd(max(s/l,m),min(s/l,m))!=1) {printf("0\n");continue;}
        q=clear(l,m);ans=0;
        for (int i=1;i*i<=q;i++) if(q%i==0) ans+=(i*i==q?1:2);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}