学习IMU预积分(1)李群

背景：目前开始学习IMU的预积分与Christian Forster 与其组员的论文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

 

这文章涉及到基础知识李群与李代数，此文章先铺垫一下基础知识，大部分东西都从《视觉SLAM十四讲》搬运过来。

 

１．什么是群

在普通的算术中，常数ａ,b 相乘,相加,相减, 运算结果仍拥有同样属性，即常数。但是有一些群体它们只有一种运算使得结果仍然保有同样属性。例如，旋转矩阵相加的结果不拥有旋转矩阵的属性，即正交性，但旋转矩阵相乘可以得到另一个旋转矩阵。

为了方便，我们把一些群体与一种运算给绑定在一起，并且称之为群。

所以，群＝一个集合＋一个运算。用数学去描述的话，我们可以这样描述：。当然这里的星号不一定指的是乘号，也可以是任意一种运算。

除此之外，一个群的运算必须满足以下性质：

１．　封闭性：

２．　结合律：

３．　幺元：　

４．　逆：　　

让我们举两个符合这些性质的例子：

旋转矩阵与矩阵乘法

1.

2.

3.

4.

 

再比如整数与算术加法

1. 1+1 = 2　而1,2都是整数

2. 1+2+3 = 6 = 1+(2+3)

3. 0+1=1+0=1

4. 1+(-1)=0

 

所以，这些都是群。

 

２．什么是李群

李群指的是在光滑的流形里的群，这里可以简单的认为是在连续空间（即非离散空间里的群）。

 

两个常见的李群：SO(n) 与 SE(n)。ｎ指的是维度。例如SO(3), SE(3)这两个在SLAM里面常见的李群，它们都可以用来描述刚体在３Ｄ连续空间里的运动。

 

SO(3) = 特殊正交群 = .

用更直观的话来说，SO(3)的元素是３ｘ３正交矩阵。与其对应的运算是矩阵乘法。

 

SE(3) = 特殊欧氏群 = .

用更直观的话来说，SE(3)的元素是一个４ｘ４的矩阵，而矩阵中包括了３ｘ３正交矩阵与３ｘ１的矢量。与其对应的运算是矩阵乘法。

 

 

下一节让我们简单理解李代数链接。