hdu3625-第一类斯特林数

第一类斯特林数S(n, m)是将n个物品分成m个非空循环排列的方法数

对于第n个物品，可以单独构成一个非空循环排列，这样前n-1个物品构成m-1个非空循环排列，方法数是 S(n - 1, m - 1),

也可以前n - 1个物品构成m个非空循环排列，第n个物品插入第i个物品的左边，方法数是 (n - 1) * S(n - 1, m),

所以递推公式为S(n, m) = S(n - 1, m - 1) + (n - 1) * S(n - 1, m)，S(i, 0) = 0, S(i, i) = 1

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625

题意：有n个房间都被锁上了，开门的钥匙被放在房间里面(每个房间一个)，第一个房间的门不能被破坏，求最多破坏k个门，有可能将所有房间都打开的概率。

因为第一个房间的门不能被破坏，所以第一个房间不能单独成一个非空循环排列，所以破坏i个门打开所有房间的方法数为S(n, i) - S(n - 1, i - 1),

求出破坏1,2,3,...,k个门的方法数之和，求出n的全排列，两者比值即为所求。

代码：

# include 
# include 
# include 
# include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 20 + 1;
int n, k;
ll S[maxn][maxn];
ll A[maxn][maxn];

void init() {
    memset(S, 0, sizeof S);
    S[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            S[i][j] = S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i < maxn; ++i) {
        A[i][1] = i;
        for (int j = 2; j <= i; ++j) {
            A[i][j] = A[i][j - 1] * (i - j + 1);
        }
    }
}

int main(void)
{
    init();
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T-- && scanf("%d %d", &n, &k)) {
        ll cnt2 = A[n][n];
        ll cnt1 = 0;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            cnt1 += S[n][i] - S[n - 1][i - 1];
        }
        printf("%.4f\n", cnt1 * 1.0 / cnt2);
    }

    return 0;
}