扩展欧几里得算法及求逆元

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gcd(a,b)即求a和b的最大公约。用辗转相除法求得。

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数–这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

ex_gcd(a,b,x,y)
假设a>b;
1、若b=0,则gcd(a,b)=a,得到x=1,y=0;
2、若ab!=0
有ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b);
由欧几里得算法可得：gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
即有：
ax1+by1=bx2+(a%b)y2;
即，ax1+by1=bx2+[a-(a/b)b]y2=ay2+bx2-b(a/b)y2;
由于 a和b是定值，且等式恒等，所以，
x1=y2,
y1=x2-(a/b)y2;
这样通过求解x2,y2来得到x1,y1。
代码如下：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)       //扩展欧几里得 
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

此算法即可求出gcd(a,b)，也可求出x和y。

乘法逆元：对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x,使得ax≡1(mod n)。一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1,此逆元唯一存在。
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
扩展欧几里得算法求乘法逆元：
给定模数n，求a的逆相当于求解ax=1(mod n),这个方程可以转化为ax-my=1,然后套用二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd;检查gcd是否为1
gcd不为1说明逆元不存在，若为1,调整x0到0~m-1的范围中即可。
代码如下：

int mod_reverse(int a,int n)//ax=1(mod n) 求a的逆元x 
{
    int d,x,y;
    d=ex_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1)
        return (x%n+n)%n;
    else
        return -1;
}

还需要更加加深理解。