【bzoj3143】[Hnoi2013]游走

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3

2 3

1 2

1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

题解

首先根据贪心的思想，期望经过次数更多的边我们给它更小的编号。
那么我们需要求所有边的期望经过次数。
发现边的期望经过次数仅与它连接的两个点的期望到达次数和两个点的度数有关，设边e连接了u和v两个点，则边的期望经过次数 g[e] 可以用点的期望经过次数 f[u] 和 f[v] 和他们的度数 deg[u] 和 deg[v] 表示为：

g[e]=f[u]/deg[u]+f[v]/deg[v]

现在我们要求的就是点的期望经过次数了。
一个点的期望经过次数可以通过与它相连的点的期望经过次数得到：

f[u]=∑f[v]/deg[v]

那么我们就可以得到除了第n个点以外的n-1个方程。
直接高斯消元即可。
注意 f[1] 在最后要 +1 处理，即在方程中：

f[1]−1=∑f[v]/deg[v]

#include
using namespace std;

inline int read(){
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) { if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

typedef double db;

const int N = 500 + 10, M = 300000 + 10;
const db eps = 1e-9;

int n, m, tot;
int fr[M], to[M], nxt[M], hd[N], deg[N];
int u[M], v[M];
db a[N][N], g[M], ans;

void insert(int u, int v){
    fr[++tot] = u; to[tot] = v; nxt[tot] = hd[u]; hd[u] = tot;
    fr[++tot] = v; to[tot] = u; nxt[tot] = hd[v]; hd[v] = tot;
    deg[u]++; deg[v]++;
}

void init(){
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        u[i] = read(); v[i] = read();
        insert(u[i], v[i]);
    }
    n--; a[1][n+1] = -1.0;
    for(int u = 1; u <= n; u++){
        a[u][u] = -1;
        for(int i = hd[u]; i; i = nxt[i])
            if(to[i] != n + 1)
                a[u][to[i]] = 1.0 / deg[to[i]];
    }
}

void gauss(){
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int r = i;
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i])) swap(r, j);
        if(r != i) for(int j = 1; j <= n + 1; j++) swap(a[i][j], a[r][j]);
        if(fabs(a[i][i]) < eps) continue;
        for(int j = n + 1; j >= i; j--)
            for(int k = i + 1; k <= n; k++)
                a[k][j] -= a[k][i] / a[i][i] * a[i][j];
    }
    for(int i = n; i; i--){
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            a[i][n+1] -= a[j][n+1] * a[i][j];
        a[i][n+1] /= a[i][i];
    }
}

void work(){
    gauss();
    for(int i = 1; i <= m; i++) g[i] = a[u[i]][n+1]/deg[u[i]] + a[v[i]][n+1]/deg[v[i]];
    sort(g + 1, g + m + 1);
    for(int i = 1; i <= m; i++) ans += g[i] * (m - i + 1);
    printf("%.3lf\n", ans);
}

int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}