HDU 6314 Matrix（容斥原理）

题目链接：Matrix

题意

对于一个 n×m n × m 的网格，每一个小格只能涂上黑色或者白色，问所有涂色方案中，至少有 A A 行 B B 列为黑色的方案数。

输入

多组输入（不超过 5 5 组），每组为四个整数 n,m,A,B (1≤n,m,A,B≤3000) n , m , A , B   ( 1 ≤ n , m , A , B ≤ 3000 )

输出

输出方案数对 998244353 998244353 取模的结果。

样例

输入
3 4 1 2
输出
169

题解

根据容斥原理可以知道，至少 A A 行 B B 列为黑色的方案数为 ∑ni=AfaiCin∑mj=BfbjCjm ∑ i = A n f a i C n i ∑ j = B m f b j C m j ，如果 i i 和 j j 是从 1 1 开始的，那么 faifbj f a i f b j 的值就为 (−1)i+j ( − 1 ) i + j ，然而 i i 和 j j 不是从 1 1 开始的，而是从某个数字开始的，于是该系数就为 fai=1−∑ik=ACkifak, fbj=1−∑jk=BCkjfbk f a i = 1 − ∑ k = A i C i k f a k ,   f b j = 1 − ∑ k = B j C j k f b k 。系数 fai f a i 具体的推导可以根据在 k∈[A,i) k ∈ [ A , i ) 容斥的加减计算过程中，至少为 i i 行的状态被重复计算的次数来得到。最后对 fai f a i 和 fbj f b j 进行 O(n2+m2) O ( n 2 + m 2 ) 次预处理，再 O(nm) O ( n m ) 地计算容斥公式，就可以得到答案。

过题代码

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#include 
using namespace std;

#define LL long long
const int maxn = 3001;
const int MOD = 998244353;
int n, m, A, B, ans;
int C[maxn][maxn], two[maxn * maxn];
int fa[maxn], fb[maxn];

void Init() {
    for(int i = 0; i < maxn; ++i) {
        for(int j = 0; j <= i; ++j) {
            if(j == i || j == 0) {
                C[i][j] = 1;
            } else {
                C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
                if(C[i][j] >= MOD) {
                    C[i][j] -= MOD;
                }
            }
        }
    }
    two[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn * maxn; ++i) {
        two[i] = two[i - 1] * 2;
        if(two[i] >= MOD) {
            two[i] -= MOD;
        }
    }
}

int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);

    Init();
    while(scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &A, &B) != EOF) {
        ans = 0;
        for(int i = A; i <= n; ++i) {
            fa[i] = 0;
            for(int j = A; j < i; ++j) {
                fa[i] = (fa[i] + (LL)C[i][j] * fa[j]) % MOD;
            }
            fa[i] = 1 - fa[i];
            if(fa[i] < 0) {
                fa[i] += MOD;
            }
        }
        for(int i = B; i <= m; ++i) {
            fb[i] = 0;
            for(int j = B; j < i; ++j) {
                fb[i] = (fb[i] + (LL)C[i][j] * fb[j]) % MOD;
            }
            fb[i] = 1 - fb[i];
            if(fb[i] < 0) {
                fb[i] += MOD;
            }
        }
        for(int i = A; i <= n; ++i) {
            LL tmp = (LL)fa[i] * C[n][i] % MOD;
            for(int j = B; j <= m; ++j) {
                ans = (ans + ((tmp * fb[j] % MOD) * C[m][j] % MOD) * two[(n - i) * (m - j)] % MOD) % MOD;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}