【51nod 1238】 最小公倍数之和 V3（杜教筛）
基准时间限制：8 秒 空间限制：262144 KB 分值: 640 难度：8级算法题
出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最小公倍数之和。
相当于计算这段程序（程序中的lcm(i,j)表示i与j的最小公倍数）：
由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。
G=0;
for(i=1;i<=N;i++)
for(j=1;j<=N;j++)
{
G = (G + lcm(i,j)) % 1000000007;
}
Input
输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)
Output
输出G Mod 1000000007的结果。
Input示例
4
Output示例
72
之前推过一个差不多的，但是那个的数量级是10的5次的，而且不是正方形，是给出的n和m，牵扯上了莫比乌斯函数的，但是这个就不能这样搞了，反正先推一推吧。
ans=∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=∑d=1n∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)==d]ijd=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)==1]ij a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n i j g c d ( i , j ) = ∑ d = 1 n ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ g c d ( i , j ) == d ] i j d = ∑ d = 1 n d ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ n d ⌋ [ g c d ( i , j ) == 1 ] i j
设：
F(n)=∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)==1]ij F ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ g c d ( i , j ) == 1 ] i j
观察发现若i==j，且gcd为1，只有i和j均为1时，所以我们不妨考虑这个式子，设：
F′(x)=∑i=1n∑j=1i[gcd(i,j)==1]ij F ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i [ g c d ( i , j ) == 1 ] i j
易知 F(x)=2F′(x)−1 F ( x ) = 2 F ′ ( x ) − 1 ，所以我们先来考虑 F′(x) F ′ ( x )
那很显然啊…
F′(x)=12+∑i=1ni2ϕ(i)2 F ′ ( x ) = 1 2 + ∑ i = 1 n i 2 ϕ ( i ) 2
所以：
F(x)=∑i=1ni2ϕ(i) F ( x ) = ∑ i = 1 n i 2 ϕ ( i )
.
感觉这个式子好简洁，那么就是求：
ans=∑i=1niF(⌊ni⌋) a n s = ∑ i = 1 n i F ( ⌊ n i ⌋ )
似乎没什么实质化简，用杜教搞一搞啦。
想到 ∑d|nϕ(d)=n ∑ d | n ϕ ( d ) = n ,看看能不能利用这个性质了。
设： f(x)=x2ϕ(x),g(x)=x2 f ( x ) = x 2 ϕ ( x ) , g ( x ) = x 2 ,我们拿这两个函数做狄利克雷卷积，有：
f∗g(n)=∑d|nd2ϕ(d)n2d2=n3=∑d|ng(d)f(nd) f ∗ g ( n ) = ∑ d | n d 2 ϕ ( d ) n 2 d 2 = n 3 = ∑ d | n g ( d ) f ( n d )
对卷积和做一下前缀和：
∑i=1ni3=∑i=1n∑j|ig(j)f(ij)=∑j=1ng(j)∑k=1⌊nj⌋f(k)=∑j=1ng(j)F(⌊nj⌋)=n2(n+1)24 ∑ i = 1 n i 3 = ∑ i = 1 n ∑ j | i g ( j ) f ( i j ) = ∑ j = 1 n g ( j ) ∑ k = 1 ⌊ n j ⌋ f ( k ) = ∑ j = 1 n g ( j ) F ( ⌊ n j ⌋ ) = n 2 ( n + 1 ) 2 4
所以：
g(1)F(n)=n2(n+1)24−∑j=2ng(j)F(⌊nj⌋) g ( 1 ) F ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 4 − ∑ j = 2 n g ( j ) F ( ⌊ n j ⌋ )
推导部分就到这了，现在就是递归分块求了。
代码：
#includeif(!isP[i]){prime[cnt++]=i;phi[i]=i-1;}
for(int j=0;j*prime[j]*prime[j]]=true;
if(i%prime[j])
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
else
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
}
}
for(ll i=1;i*i%mod*phi[i]%mod;
for(int i=1;i1])%mod;
}
mapM;
ll work(ll x)
{
if(xreturn F[x];
if(M[x])return M[x];
ll t=x%mod;
ll ans=t*t%mod*(t+1)%mod*(t+1)%mod*inv4%mod;
for(ll i=2,last;i<=x;i=last+1)
{
last=x/(x/i);
ans=(ans-(get(last)-get(i-1))*work(x/i)%mod)%mod;
}
if(ans<0)ans=(ans+mod)%mod;
M[x]=ans;
return ans;
}
ll _get(ll a,ll b)
{
return (b-a+1)%mod*((a+b)%mod)%mod*inv2%mod;
}
int main()
{
init();
//cout<>n;
ll ans=0;
for(ll i=1,last;i<=n;i=last+1)
{
last=n/(n/i);
ans=(ans+_get(i,last)*work(n/i)%mod)%mod;
}
cout<return 0;
}