bzoj 3907: 网格 （卡特兰数+组合数学+高精度）

3907: 网格

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Description

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0, 0)，右上角坐标为B(n, m)，其中n >= m。现在从A(0, 0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x, y)都要满足x >= y，请问在这些前提下，到达B(n, m)有多少种走法。

Input

输入文件中仅有一行，包含两个整数n和m，表示城市街区的规模。

Output

输出文件中仅有一个整数和一个换行/回车符，表示不同的方案总数。

Sample Input

6 6

Sample Output

132

HINT

100%的数据中，1 <= m <= n <= 5 000

Source

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题解：卡特兰数+组合数学+高精度

这道题相当于经典的购票问题。

最后的答案是C(n+m,n)-C(n+m,n+1)

这里有一些有关卡特兰数问题的讲解：http://blog.csdn.net/wuyuegb2312/article/details/9339529 

#include
#include
#include
#include
#include
#define N 10003
using namespace std;
struct data {
	int s[N],len;
	data (){
		memset(s,0,sizeof(s));
		len=0;
	}
}ans,ans1;
int n,m,prime[N],mp[N],pd[N],num[N];
void init()
{
	for (int i=2;i<=10000;i++) {
		if (!pd[i]) prime[++prime[0]]=i,mp[i]=prime[0];
		for (int j=1;j<=prime[0];j++) {
			if (prime[j]*i>10000) break;
			pd[prime[j]*i]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
void calc(int x,int val)
{
	int k=x;
	for (int i=1;prime[i]*prime[i]<=k;i++) 
	 if (k%prime[i]==0) {
	 	while (k%prime[i]==0) 
	 	 num[i]+=val,k/=prime[i];
	 }
	if (k>1) num[mp[k]]+=val;
}
data mul(data a,int x)
{
	data c; int t=a.len;
	for (int i=1;i<=a.len;i++) 
	 c.s[i]=a.s[i]*x;
	for (int i=1;i<=t;i++) {
		c.s[i+1]+=c.s[i]/10;
		c.s[i]%=10;
	}
	while (c.s[t+1]) {
		t++; c.s[t+1]+=c.s[t]/10;
		c.s[t]%=10;
	}
	c.len=t;
	return c;
}
data jian(data a,data b)
{
	data c;
	int t=a.len;
	for (int i=1;i<=t;i++) c.s[i]=a.s[i]-b.s[i];
	for (int i=1;i<=t;i++) 
	 if (c.s[i]<0) c.s[i]+=10,c.s[i+1]--;
	while (!c.s[t]) t--;
	c.len=t;
	return c; 
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	init();
	for (int i=n+1;i<=n+m;i++) calc(i,1);
	for (int i=1;i<=m;i++) calc(i,-1);
	ans.len=ans.s[1]=1;
	for (int i=1;i<=prime[0];i++) 
	 while (num[i]) ans=mul(ans,prime[i]),num[i]--;
	//for (int i=ans.len;i>=1;i--) printf("%d",ans.s[i]);
	//printf("\n");
	for (int i=m;i<=n+m;i++) calc(i,1);
	for (int i=1;i<=n+1;i++) calc(i,-1);
    ans1.len=ans1.s[1]=1;
	for (int i=1;i<=prime[0];i++) 
	 while (num[i]) 
	  ans1=mul(ans1,prime[i]),num[i]--;
	//for (int i=ans1.len;i>=1;i--) printf("%d",ans1.s[i]);
	//printf("\n");
	ans=jian(ans,ans1);
	for (int i=ans.len;i>=1;i--) printf("%d",ans.s[i]);
	printf("\n");
}