数据结构&算法学习笔记 二叉查找树

链表、堆栈和队列都是线性数据结构。树是非线性的、二维的数据结构。树的节点包含两个或更多的链接。二叉树是所有节点都包含两个链接的树。
同一个节点的子节点称为兄弟节点。

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。一颗二叉查找树（没有值相同的节点）有这样的特征：它的任何左子树上的值都小于其父节点的值，而它的任何右子树上的值都大于其父节点的值。注意对应同一组数据的二叉查找树的形状可以不同，这是由这些值被插入树中的顺序决定的。

平衡二叉树（Self-balancing binary search tree）是 一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，同时，平衡二叉树必定是二叉搜索树，反之则不一定。

限定先左后右，遍历一棵二叉查找树有三种方法：使用递归的先序遍历、中序遍历、后序遍历这三种算法。
因为每个节点被访问一次，所以时间复杂度O(n)。
最坏空间复杂度O(n)（由树的深度决定）;

先序遍历定义如下：
若二叉树为空，则空操作；否则
（1）访问根节点
（2）先序遍历左子树
（3）先序遍历右子树
上图的先序遍历结果为：47、25、11、43、31、44、77、65、68

中序遍历定义如下：
若二叉树为空，则空操作；否则
（1）中序遍历左子树
（2）访问根节点
（3）中序遍历右子树
上图的中序遍历结果为：11、25、31、43、44、47、65、68、77

后序序遍历定义如下：
若二叉树为空，则空操作；否则
（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根节点
上图的后序遍历结果为：11、31、44、43、25、68、65、77、47

遍历实质上是对二叉树进行线性化的过程，即遍历的结果是将非线性结构的树中的节点排成一个线性序列。

在二叉查找树中寻找匹配的关键值也是很快速的。如果树是平衡的，那么每个分支上大概包含树上的一半节点。每次比较关键值就会排除一半的节点。所以有N个元素的二叉查找树最多需要log2 N次比较就可以确定匹配存不存在。1000个元素的平衡二叉树，最多不超过10次比较（2^10 > 1000); 1000,000个元素的平衡二叉树，最多不超过20次比较（2^20 > 1000,000);

类模板TreeNode
注意：因为TreeNode 的模板参数NODETYPE也是在友元声明中Tree中的模板参数，
所以使用一种特定类型特化的TreeNode只能被相同类型特化的Tree所处理(例如，一个int 类型的Tree树管理储存int值的TreeNode对象)

//TreeNode.h
#ifndef TREENODE_H_INCLUDED
#define TREENODE_H_INCLUDED
template<typename  NODETYPE>class Tree;//声明Tree类

template<typename NODETYPE>
class TreeNode
{
    friend class Tree;
public:
    //构造函数
    TreeNode(const NODETYPE& d)
        :leftPtr(NULL),
         data(d),
         rightPtr(NULL)//也可用c++11 nullptr关键字
    {
    }

    NODETYPE getData()const
    {
        return data;
    }

private:
    TreeNode *leftPtr;//指向左子树的指针
    NODETYPE data;
    TreeNode *rightPtr;//指向右子树的指针
};

#endif // TREENODE_H_INCLUDED

类模板Tree

#ifndef TREE_H_INCLUDED
#define TREE_H_INCLUDED

#include<iostream>
#include"TreeNode.h"

template<typename NODETYPE>class Tree
{
public:
    Tree()
    :rootPtr(NULL)
    {
    }

    void insertNode(const NODETYPE &value)
    {//插入节点到树中
        insertNodeHelper(&rootPtr, value);
        //一个节点只能以叶节点的形式插入到二叉查找树中
    }

    void preOrderTraversal()const
    {//先序遍历
        preOrderHelper(rootPtr);
    }

    void inOrderTraversal()const
    {//中序遍历
        inOrderHelper(rootPtr);
    }

    void postOrderTraversal()const
    {//后序遍历
        postOrderHelper(rootPtr);
    }

private:
    TreeNode<NODETYPE> *rootPtr;//指向根节点指针

    void insertNodeHelper(TreeNode<NODETYPE>**ptr, const NODETYPE &value)
    {//使用二级指针以便于函数修改指针的值
        if(*ptr == NULL)
            *ptr = new TreeNode<NODETYPE>(value); 
            //如果子树是空的，创建一个包含值的新的节点
        else{//子树非空
            if(value < (*ptr) -> data)
                insertNodeHelper(&((*ptr) -> leftPtr), value);
            else
            {
                if(value > (*ptr) -> data)
                    insertNodeHelper(&((*ptr) -> rightPtr), value);
                else
                    std::cout<<value<<" dup"<<std::endl; 
                   /*如果插入的值和根节点的值一样大，那么程序打
                    印"dup"并且返回而没有把这个相同的值插入*/
            }
        }
    }

    //记住，递归要求传递一个指针，表示下一棵要处理的子树
    void preOrderHelper(TreeNode<NODETYPE>*ptr) const
    {//先序遍历
        if(ptr != NULL)
        {
            std::cout<<ptr->data<<' ';//访问根节点
            preOrderHelper(ptr -> leftPtr);//先序遍历左子树
            preOrderHelper(ptr -> rightPtr);//先序遍历右子树
        }
    }

    void inOrderHelper(TreeNode<NODETYPE>*ptr) const
    {//中序遍历
        if(ptr != NULL)
        {
            inOrderHelper(ptr -> leftPtr);//中序遍历左子树
            std::cout<<ptr->data<<' ';//访问根节点
            inOrderHelper(ptr -> rightPtr);//中序遍历右子树
        }
    }

    void postOrderHelper(TreeNode<NODETYPE>*ptr) const
    {//后序遍历
        if(ptr != NULL)
        {
            postOrderHelper(ptr -> leftPtr);//后序序遍历左子树
            postOrderHelper(ptr -> rightPtr);//后序遍历右子树
            std::cout<<ptr->data<<' ';//访问根节点
        }
    }
};
#endif // TREE_H_INCLUDED

测试Tree类模板

#include
#include
#include"Tree.h"
using namespace std;
int main()
{
    Tree<int> intTree;//整型树

    cout<<"请输入10个整数"<for(int i = 0; i < 10; i++)
    {
        int intValue= 0;
        cin>>intValue;
        intTree.insertNode(intValue);
    }

    cout<<"\n先序遍历的结果为\n";
    intTree.preOrderTraversal();

    cout<<"\n中序遍历的结果为\n";
    intTree.inOrderTraversal();

    cout<<"\n后序遍历的结果为\n";
    intTree.postOrderTraversal();

    Tree<double> doubleTree;//double型树

    cout<<"\n\n请输入10个浮点数\n"<for(int i = 0; i < 10; i++)
    {
        double doubleValue= 0.0;
        cin>>doubleValue;
        doubleTree.insertNode(doubleValue);
    }

    cout<<"\n先序遍历的结果为\n";
    doubleTree.preOrderTraversal();

    cout<<"\n中序遍历的结果为\n";
    doubleTree.inOrderTraversal();

    cout<<"\n后序遍历的结果为\n";
    doubleTree.postOrderTraversal();
    cout<return 0;
}

运行结果：

更新日记：
2018/2/2
二叉树的性质(1):对于任何一棵二叉树，如果其终端节点数为n0, 度为2的节点数为n2,则n0 = n2 + 1.
Proof:
设n1为二叉树T中节点度为1的节点数。
则节点总数n = n0 + n1 + n2; (1)
除根节点外，其余节点都有一个分支进入，设B为分支总数，
则n = B + 1 = n1 + 2*n2 + 1; (2)
由(1)(2)得 n0 = n2 + 1

2018/2/23
由二叉树的先序序列和中序序列，或由其后序序列和中序序列均能唯一地确定一棵二叉树。但是一棵二叉树的先序序列和后序序列不能唯一确定一棵二叉树，因为无法确定左右子树两部分。