dp整数划分问题——03:复杂的整数划分问题
整数划分 :
这道好题求:
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
1.若划分的多个整数可以相同
设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数
(1) 当i
(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。
若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；
若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。
所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j时，也分为两种情况：
若划分中含有j只有一种情况，
若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。
此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
2.若划分的正整数必须不同
设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数
(1) 当i
(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。
若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；
若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。
所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j时，两种情况：
若划分中含有j只有一种情况；
若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。
此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
二 将n划分为k个整数的划分数
设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。
(1) i
(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；
(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：
若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，
把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]；
若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，
将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。
三 将n划分为若干正奇数之和的划分数
设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。
使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以
g[i][j] = f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。
另：
将整数划分成连续正整数之和：
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5
首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x 、x + 1， 如果有i种划分，就是
x ;
x 、x + 1 ;
x、 x + 1、 x + 2 、... ;
x、 x + 1、 x + 2、 ... 、 x + i - 1;
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，
当i = 1时，x = 15;
当i = 2时， x = 7;
当i = 3时，x = 4;
当i = 4时，x = 4/9; (x不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加)
当i = 5时，x = 1;
当i = 6时，x < 1; (所以i最大为5)
好了，咱们看题
03:复杂的整数划分问题
- 描述
-
将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。 - 输入
-
标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N) - 输出
-
对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目 - 样例输入
-
5 2
- 样例输出
-
2 3 3
- 提示
-
第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1
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