HDU1023——Train Problem II（卡特兰数）



Train Problem II

你能发现我吗？

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Problem Description

As we all know the Train Problem I, the boss of the Ignatius Train Station want to know if all the trains come in strict-increasing order, how many orders that all the trains can get out of the railway.

 

Input

The input contains several test cases. Each test cases consists of a number N(1<=N<=100). The input is terminated by the end of file.

 

Output

For each test case, you should output how many ways that all the trains can get out of the railway.

 

Sample Input

1 2 3 10

 

Sample Output

1 2 5 16796

题意：

输入n,表示有n辆火车,求有几种出站方式。

解题思路：

这道题就是考伟大的卡特兰数,如果你还不了解这个神奇的数，那咱们就先来了解一下吧。

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卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用很广泛，最典型的四种应用问题现描述如下：

1.括号化问题。 　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种) 2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　     类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

Catalan数的解法

1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1); 2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。 令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式： 　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2) 　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5 　　另类递归式： 　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 　　该递推关系的解为： 　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

如果说这不够你塞牙缝，那就来看看这里吧点击填饱肚子

来，咱们回归正题，怎么解决这道题，中国人看问题一般最先看肯本问题，而解决这道题的根本就是大数的乘除运算：

大数运算，所谓大数，就是你都不知道它怎么读的数，比如10000的阶乘有3w多位，你应该是从前面读呢，还是从后面的个位数呢？

想想咱们平时怎么算乘除的，这里就是怎么算的：

假设用a[]数组来倒叙储存一个数（23存进去就是32）,a[0]代表这个数的长度，a[1]是个位，a[2]是十位。。。现在开始算，假如用23*16，咱们先int yu=0,len=2,也就是余数现在是0，23的长度是2，先从个位算起，3*16 = 48, 那么算出来个位就是8，那怎么办呢，先给余数yu=4,再算2*16=32，然后32+yu=36,这时a[2]=6,那3怎么办呢，当然是给余数啦yu=3,由于已经乘完了那么3直接放到a[3]=3;得数就是a[3]a[2]a[1](368),别忘了a[0] = 3（长度）；这就是神奇的乘法。

再想想咱们平时怎么算除法的：

假设用a[]存一个225（a[0]=3,a[1]=5,a[2]=2,a[3]=2）,除数为25，现在开始算，int yu=0,len=3; 这次从数组a的最后一位算起,a[len]/25=0;那么a[len] = 0,然后把余数存进yu=2,再算下一位,(a[2]+10*yu)/25 = 0,a[len-1] = 0, yu = 22, (a[1]+10*yu)/25 = 9, a[1] = 9, yu = 0,这时a[3]=0,a[2]=0,a[1]=9,别忘了a[0]=1于是商=9;

好了看代码吧：

代码实现：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1000000+10;
const int inf = -0x7fffffff;
int a[maxn];
int pre[maxn];
int now[maxn];
int MAX;

int main()
{
    int m, n;
    while( ~scanf("%d%d",&m,&n) )
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        memset(now,0,sizeof(now));
        int i,j;
        for( i=1; i<=n; i++ )
            scanf("%d",&a[i]);
        for( i=1; i<=m; i++ )
        {
            MAX = inf;
            for( j=i; j<=n; j++ )
            {
                now[j] = max(now[j-1]+a[j], pre[j-1]+a[j]);
                pre[j-1] = MAX;
                MAX = max(MAX, now[j]);
            }
        }
        printf("%d\n",MAX);
    }
    
    return 0;
}