惯性导航原理之姿态算法-四元数&欧拉角&等效转动矢量

四元数乘积的三种表达形式，并推导其矢量形式  

四元数和欧拉角之间的表达式  

等效转动矢量的另外表达形式 

捷联导航系统中姿态算法的发展方向和现状。
欧拉角法：  
        欧拉角法 （又称三参数法）是欧拉在1776 年提出来的，其原理是动坐标系  相对参考坐标系之间的位置关系可以用一组欧拉角来描述。解算欧拉角微分方程  只需要解三个微分方程，与其它方法相比，需要求解的方程个数少一些但在用计  算机进行数值积分时，要进行超越函数（三角函数）的运算，从而加大了计算的  工作量。用此方法求解得到的姿态矩阵永远是正交矩阵。在进行加速度信息的坐  标变换时变换后的信息中不存在非正交误差，得到的姿态矩阵不需要进行正交化  处理。当载体的纵摇角 （俯仰角）为90 °时，将出现奇点，因此该方法不能进行全姿态解算,其使用存在一定的局限。      

方向余弦法:    

     方向余弦法（称九参数法）用矢量的方向余弦来表示姿态矩阵的方法。绕定  点转动的两个坐标系之间的关系可以用方向余弦矩阵来表示。方向余弦矩阵是随  时间变化的，其变化规律的数学描述就是方向余弦矩阵的微分方程，方向余弦  矩阵的即时值就可以通过求解该微分方程而得到。该方法求解姿态矩阵避免了欧  拉角法所  遇到的奇点问题，可以全姿态工作。但方向余弦矩阵具有九个元素， 所以需要解九个微分方程，计算工作量较大，在工程上并不实用。  

三角函数法：  
   三角函数法(又称六参数法)是将绕定点转动的两个坐标系之间的关系用三次 转动等效地表示，将三次转动角度的正、余弦函数来表示姿态函数。该方法虽然  避免了欧拉角法的缺点，可以全姿态工作，但需要解六个微分方程，计算量也不  小，工程上并不实用。  

Rodrigues 参数法:    
    Rodrigues 数法是法国数学家Rodrigues 在1840 年提出的，该方法所描述的  姿态是唯一的，并且具有简洁、直观的优点，其微分方程结构简单，无多余约束，  计算效率优于当前广泛使用的四元数法。由于Rodrigues 参数法存在旋转角有奇  异值的缺陷  ，因此限制了其在工程上的应用。Schaub 和Junkin 对该方法的缺陷，  改进后仍然存在奇异值。但是Rodriguess  参数法仍不失为解算姿态的有效途径。  

四元数法： 
    四元数法  (  又称四参数法)  。英国数学家W.R.Haminlton 在1843 年在数学  中引入了四元数。但直到20 世纪60 年代末期这种方法还没有得到实际应用，随  着空间技术、计算技术SINS 技术的发展，四元数才引起人们的重视。求解四元  数微分方程要解四个微分方程。虽然要比解欧拉微分方程多一个方程，但其优越  性在于计算量小、精度高、可避免奇异性，该方法是目前研究的重点之一。由于  方向余弦法在对载体姿态动力学求解时会产生歪斜、刻度和漂移误差同，然而，  SINS 中在进行姿态求解时估计出这些误差是很重要的。  与方向余弦法相比，四 元数法的优点在于不仅歪斜误差等于零；而且刻度误差的推导很简单，能得出便  于进一步分析的解析表达式，而方向余弦法只有在特殊的情况下才能分析和检测到刻度误差，且不能得出通用的结论。通过从不同角度对欧拉角法、方向余弦法和四元数法进行对比。结果表明四元数法具有最佳的性能。  

等效旋转矢量法： 

    由于欧拉角法、方向余弦法、三角函数法和四元数法对于圆锥运动都有原理  误差，而Rodrigues 参数法又存在奇异值，因此人们又致力于研究能有效抑制圆  锥运动所产生的不可交换性误差的算法。 由于刚体的有限转动不是矢量，其转动次序不可交换。无限小转动才是矢量。  1971 年Bortz 提出的转动向量微分方程为计算SINS 的姿态矩阵建立了全面的理论基础。用该方法描述绕定点转动的两个坐标系之问的关系被称为等效旋转矢量法。转动向量的变化率是惯性测量的角速度向量与计算得到的非互易速率向量二者之和，后者是影响SINS 姿态角精度的一个重要因素，因此，在高角速率动态环境中，为防止姿态误差积累，必须对非互易速率向量进行补偿。对非互易向量进行补偿的计算一般称为圆锥补偿算法。要提高算法精度，可以有两种选择，一种是对陀螺输出信号进行高频率采样，使用简单的圆锥算法；另一种是适当降低对陀螺输出信号进行采样的频率，使用复杂但精度高的圆锥算法。