【期望dp-斜率优化】CF673E Levels and Regions

【题目】
原题地址
题意：将 n n 个数字分成连续 k k 段，要将所有数字操作一遍，问期望操作次数最小。
代价的计算：设当前段到操作第i个数字，则操作一次有 tisumi t i s u m i 的概率，到下一个数字，否则留在这个数字。其中 sumi s u m i 表示这段数字到第 i i 个的前缀和， ti t i 表示第 i i 个数字

【解题思路】
从只分成一段开始入手，根据期望的套路我们从后往前dp，则 fi=p∗fi+1+(1−p)∗fi+1 f i = p ∗ f i + 1 + ( 1 − p ) ∗ f i + 1 ，其中 p=tisumi p = t i s u m i
接下来设f_{l,r}表示[l,r]这段的期望的话，我们可以推导：

fl,r=∑i=lr∑ij=ltj=∑i=lrsumi−suml−1ti=∑i=lrsumiti−suml−1∗∑i=lr1ti(56)(57)(58) (56) f l , r = ∑ i = l r ∑ j = l i t j (57) = ∑ i = l r s u m i − s u m l − 1 t i (58) = ∑ i = l r s u m i t i − s u m l − 1 ∗ ∑ i = l r 1 t i

设 Ai=∑sumiti，Bi=∑1ti A i = ∑ s u m i t i ， B i = ∑ 1 t i
那么 fl,r就是min{Ar−Al−1−suml−1∗(Br−Br−1)} f l , r 就 是 m i n { A r − A l − 1 − s u m l − 1 ∗ ( B r − B r − 1 ) }

设dp_{i,k}表示前i个数分成k段的最小期望，那么有：
dpi,k=min(dpj,k−1+Ai−Aj−sumj∗(Bi−Bj)) d p i , k = m i n ( d p j , k − 1 + A i − A j − s u m j ∗ ( B i − B j ) )

经过冷静分析，发现这是一个斜率优化的柿子，于是我们设 k<j k < j ，且j比 k k 优，可以最后得到：

(gj−Aj+sumj∗Bj)−(gk−Ak+sumk∗Bk)sumj−sumk<Bi ( g j − A j + s u m j ∗ B j ) − ( g k − A k + s u m k ∗ B k ) s u m j − s u m k < B i

这里 gi g i 表示分成 k−1 k − 1 段时处理出来的dp数组。

然后因为要求一个最小值，我们显然要维护一个下凸壳，维护的点就是 ((gi−Ai+sumi∗Bi),sumi) ( ( g i − A i + s u m i ∗ B i ) , s u m i )
单调队列优化后我们就可以在 O(nk) O ( n k ) 的复杂度下解决这道题。

【参考代码】

#include
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;

typedef double db;
typedef pair pdd;
const int N=2e5+10;
int n,K;
db A[N],B[N],S[N],f[N],g[N];
pdd q[N];

int read()
{
    int ret=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {c=getchar();}
    while(isdigit(c)) {ret=ret*10+(c^48);c=getchar();}
    return ret;
}

void init()
{
    n=read();K=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        db x=read();
        S[i]=S[i-1]+x;f[i]=g[i]=A[i]=A[i-1]+S[i]/x;B[i]=B[i-1]+1.0/x;
        //printf("%lf %lf %lf\n",A[i],B[i],S[i]);
    }
}

db cross(pdd A,pdd B)
{
    return (A.se-B.se)/(A.fi-B.fi);
}

void solve(int d)
{
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(r-l && cross(q[l],q[l+1])q[l].se+A[i]-q[l].fi*B[i];
        pdd tmp=mkp(S[i],g[i]-A[i]+S[i]*B[i]);
        //printf("%lf %lf %lf %lf\n",A[i],B[i],q[l].fi,q[l].se);
        while(r-l && cross(q[r],tmp)q[r-1],tmp)) --r;
        q[++r]=tmp;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) g[i]=f[i];
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("CF673E.in","r",stdin);
    freopen("CF673E.out","w",stdout);
#endif 
    init();
    for(int i=2;i<=K;++i)
        solve(i);
    printf("%0.10lf\n",f[n]);
    return 0;
}

【总结】
算是一道比较简单的题吧qwq，不过还是要注意细节，刚开始被几组小数据卡了qwq。