Lucy-Richardson算法

维纳滤波是频域的图像修复算法，而LR算法是时域的一种图像修复算法，LR算法基于贝叶斯理论，泊松分布和最大似然估计算法对图像进行修复。
以下公式及内容参考于论文：“基于 Lucy-Richardson 算法的头部运动模糊
CT 图像复原方法研究”
首先介绍贝叶斯理论：
连续贝叶斯公式：

离散贝叶斯：

那么贝叶斯公式要怎么应用于我们的LR算法呢？
接下来最大似然估计就得出场了，如果模糊图像g是由原始图像f得到，那么我们应该有p(f|g)的概率最大（这就是最大似然了），但是p(f|g)不好求啊怎么办呢？于是我们用贝叶斯进行迂回求解：

又由于p(f)与p(g)是常数，所以我们只需使得p(g|f)最大即可。
那p(g|f)最大怎么求呢？
这时就用到泊松统计模型了，泊松统计模型公式为：

这里u代表给定时间范围内事情发生的平均次数。
假定模糊图像中的各个像素点之间相互独立，根据泊松统计模型，则条件概率分布p(g|f)可用以下式子表示：

其中u=h(x,y)*f(x,y),x=g(x,y)。这样就和泊松公式对应起来了。
那么为什么u=h(x,y)*f(x,y),x=g(x,y)呢？
因为：“在许多情况下，图像需要用泊松随机场来建模，比如天文、共聚焦显微、CT 以及 PET 等图像是许多光子在一定时间内遵循泊松随机过程产生的结果，而 L-R 算法能够按照泊松噪声统计标准对给定点扩散函数的退化图像进行反卷积迭代推演计算，充分考虑了信号的统计涨落特性，经过一定次数的迭代计算后可得到接近理想清晰图像的最大似然估计值”
以上为原论文的说明，我直接引用过来了。
其实上面的公式差一个括号。
然后就是利用梯度为0求解上面那个方程了。
首先取ln化乘为加：

然后求导另结果等于0：

解得：

两边同时乘以f(x,y):

在加入迭代求解的概念：

是不是有点莫名其妙，随便就变成迭代求解形式了？我想作者肯定省略了一万步在里面，这个迭代求解的结果可能是利用牛顿下降法，或者梯度下降法求得的。不过这里你知道就行了。

但是LR算法的缺点也很明显，那就是LR并没有规定迭代结束的条件，如果我们愿意算法可以一直迭代下去，并且LR算法可能还会收敛到局部极值点求不出真正的解，或者出现震荡等迭代算法常常出现的问题。所以初值的选取使非常关键的。