组合数学

 

一、计数原理

　　计数原理 　　

　　抽屉原理 　　

　　加法原理 　　

　　乘法原理 　　

　　容斥原理 　　　　

　　　　德摩根定理
　　　　容斥原理

二、组合类问题

　　存在性问题

　　计数性问题

　　构造性问题

　　最优化问题

三、排列

　　全排列

　　　　不全相异元素全排列　　n!/(n1!*n2!*n3!*n4!*n5!*~*nn!)
　　　　相异元素可重复全排列　　n^m 　　

　　选排列　　

　　　　n的降r阶乘　　n!(n-r)!
　　　　不全相异元素选排列　　P(n,m)/(n1!*n2!*n3!*n4!*n5!*~*nm!) 　　

　　错位排列　　

　　　　n！*（1-1/1！+1/2！-1/3！+1/4！+~+（-1）^n/n!） 　　

　　圆排列　　

　　　　n!/n=(n-1)!

 三、组合

　　组合的概念

　　　　在n个元素的集合(互异性)S中选取r个元素，叫做S的一个组合
　　　　组合数：一个集合中的组合个数

　　组合基本公式

　　　　C(n,r)=P(n,r)/r!　　

　　　　　　一个组合进行全排列就是P(n,r)

　　　　C(n,r)=C(n,n-r)　　

　　　　　　在一个集合中选取r个元素有C(n,r)中选择，但我们不是每一次选原来的集合中都剩下了n-r个元素，这些也是组成了一个组合

　　　　C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)　　

　　　　　　C(n-1,r)表示现在这个数不选，C(n-1,r-1)表示现在这个数选，所以只需要在前n-1个数中选择r-1个就行，所以C(n,r)就是考虑选择与不选的总和
　　　　二项式定理

　　　　　　C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+~+C(n,n)=2^n

　　　　　　　　简单证明： 将一个长度为n的01串01自由组合的答案就是2^n,对于每一个合法串，1出现总数为x1的就是C(n,x1),所以答案就是1出现的总数p的次数的和

　　　　重复组合

　　　　　　H(n,r)=C(n+r-1,n-1)=C(n+r-1,r)

　　　　　　　　简单证明：假设有n-1个隔板，将r分成了n个部分，那么是不是每一部分就是一个元素选择的次数，总和也就是r