0x33 同余

定义

若整数 \(a\) 和整数 \(b\) 除以正整数 \(m\) 的余数相等，则称 \(a,b\) 模 \(m\) 同余，记为：

\[a \equiv b(mod \text{ } m)\]

同余类与剩余系

对于 \(\forall a\in [0,m-1]\) ，集合 \(\\{ a+km \\}\) \((k \in \mathbb{N})\) 的所有数模 \(m\) 同余，余数都是 \(a\) 。该集合称为一个模 \(m\) 的同余类，简记为 \(\overline{a}\) 。

由对于模n同余的所有整数组成的这个集合称为同余类，同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类，称为该同余类的代表数，如模 \(10\) 的同余类 \(\overline{1}, \overline{11}, \overline{21}\) 其实是同一个集合。

模 \(m\) 的同余类一共有 \(m\) 个，分别为 \(\overline{0}, \overline{1}, \overline{2} \dots， \overline{m-1}\) ，它们构成 \(m\) 的完全剩余系。

\(1 \sim m\) 中与 \(m\) 互质的数代表的同余类共有 \(\varphi(m)\) 个，他它们构成了 \(m\) 的简化剩余系，例如模10的简化剩余系为 \(\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}\}\) 或 \(\{\overline{11}, \overline{13}, \overline{27}, \overline{29}\}\) 。

简化剩余系关于模 \(m\) 乘法封闭，因为：若 \(gcd(a,m)=1\) 且 \(gcd(b,m)=1\)，其中 \(1 \le a,b \le m\) ，则 \(a \ast b\) 也不可能与 \(m\) 含有相同的质因子，即 \(gcd(a \ast b,m)=1\) 再由余数的定义即可得到 \(gcd(a \ast b \text{ } mod \text{ } m,m)=1\) （参考下面的证明），即 \(a \ast b \text{ } mod \text{ } m\) 也属于 \(m\) 的简化剩余系。

证明：
已知： \(gcd(a,m)=1\)
求证： \(gcd(a \text{ } mod \text{ }m, m)=1\)
证明：
\(a\) 的余数可以表示为 \(a+km,k\in\mathbb{Z}\)
设 \(gcd(a+km,m)=d\neq1\)
则 \(a+km=pd,m=qd\)
将 \(m=qd\) 代入 \(a+km=pd\) 得 \(a+kqd=pd\)
移项、合并同类项得 \(a=d(p-kq)\)
这样 \(d|a,d|m\) ，所以 \(gcd(a,m)\ge d\ne1\)
与 \(gcd(a,m)=1\) 矛盾
证毕。

费马小定理

若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(a\) ，有 \(a^p \equiv a(mod \text{ }p)\) 。

欧拉定理

若正整数 \(a,n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)} \equiv1(mod \text{ }n)\)，其中 \(\varphi(n)\) 为欧拉函数。

即：假如 \(a\) 是一个整数， \(p\) 是一个质数，那么 \(a^{p}-a\) 是p的倍数。

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 \(a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)\) 。

证明：

设 \(n\) 的简化剩余系为 \(\\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \overline{a_3} \dots \overline{a_{\varphi(n)}}\\}\) 。对 \(\forall a_i,a_j\) ，若 \(a \ast a_i \equiv a \ast a_j (mod \text{ } n)\) ，则移项、合并同类项得 \(a \ast (a_i - a_j) \equiv 0\) 。因为 \(a,n\) 互质，所以 \(a_i - a_j=0\) ，即 \(a_i \equiv a_j\) 。故当 \(a_i \ne a_j\) 时， \(a a_i,a a_j\) 也代表不同的同余系。

又因为简化同余系关于模 \(n\) 乘法封闭，故 \(a a_i\) 也在简化剩余系集合中。因此 \(\\{a_1, a_2, a_3 \dots a_{\varphi(n)} \\}\) 与 \(\\{a a_1, a a_2, a a_3 \dots a a_{\varphi(n)} \\}\) 都能表示 \(n\) 的简化剩余系。综上所述：

\[a^{\varphi(n)} a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} \equiv (a a_1) (a a_2) \dots (a a_{\varphi(n)}) \equiv a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} (mod \text{ } n)\]

因此：

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod \text{ } n)\]

当 \(p\) 是质数时， \(\varphi(p)=p-1\)，并且只有 \(p\) 的倍数与 \(p\) 不互质。所以，只要 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，就有 \(a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)\) ，两边同时乘上 \(a\) 就是费马小定理。另外，若 \(a\) 是 \(p\) 的倍数，费马小定理显然成立。

证毕。

欧拉定理的推论

若正整数 \(a,n\) 互质，则对于任意的正整数 \(b\) ，有

\(a^b \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)} (mod \text{ } n)\)

证明：

设 \(b=q \ast \varphi(n)+r\) ，其中 \(0 \le r < \varphi(n)\) ，即 \(r=b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)\) 。于是：

\(a^b \equiv a^{q \ast \varphi(n)+r} \equiv (a^q)^{\varphi(n)} \ast a^r \equiv 1^q \ast a^r \equiv a^r \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)}(mod \text{ } n)\)

证毕。

特别地，当 \(a,n\) 不一定互质且 \(b>\varphi(n)\) 时，有

\(a^b \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)+\varphi(n)} (mod \text{ } n)\)

证明方法：指数循环节，留个坑，以后再填。

应用：

许多计数类题目要求把答案对一个质数 \(p\) 取模后输出，在计算 \(a+b, a\ast b\) 这样的算式时，就可以先把 \(a,b\) 对 \(p\) 取模，再进行运算。而对于形如 \(a^p\) 的乘方算式，可以先将底数 \(a\) 对 \(p\) 取模、指数 \(p\) 对 \(\varphi(n)\) 取模，再进行计算，避免溢出。