四元数简介----四元数定义与几何意义

四元数定义

  先介绍代数的概念,域F上的一个矢量空间V叫做域F上的代数;如果除数乘、加法外还定义叉乘,如果V是F上的有限维空间,称V为F上的有限维代数;如果乘法满足结合律,称V为结合代数;实数是一维结合代数,复数是二维结合代数,四元数是四维结合代数,都是可除代数;
  以i,j,k表示四元数的基元,四元数的一般形式为A = w+xi+yj+zk；（w,x,y,z为实数）基元i,j,k的运算规则为：
      ij=k; ik=j; jk=i;
  i,j,k可代表沿x,y,z轴的单位矢量,四元数是标量w与矢量V=xi+yj+zk之和。

四元数的运算

  两个四元数的乘法按多项式乘法进行,可以把这样的乘法称为直乘：
    AB=(w1+x1i+y1j+z1k)(w2+x2i+y2j+z2k)
     =w1w2-x1x2-y1y2-z1z2+(w1x2+x1w2+y1z2-z1y2)i……..
    由此公式,可以得到矢量α,β的乘积为（*为点乘）
       αβ = -α*β +α x β
    令A=w+a,B=x+β,有
      AB=（w+α）（x+β）
        =wx+wβ+xα-α*β+αxβ

四元数的几何意义与三角表达式

矢量旋转的四元数表述

博士论文：http://www.doc88.com/p-4015133860624.html