【大话数据结构】第六章总结——树（上）
目录
1、树的定义
2、树的抽象数据类型
3、树的存储结构
总结
1、树的定义
树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。
在任意一棵非空树种：
（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、......、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree），如下图所示
强调两点：
1.n>0时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点
2.m>0时，子树的个数没有限制，但是它们一定互不相交。例如下图都不属于树，因为存在相交的子树
度：
结点拥有的子树数称为结点的度
叶结点（终端结点）：
度为0的结点称为叶结点（Leaf）或者终端结点
分支结点（非终端结点）：
度不为0的结点称为分支结点或者非终端结点
（除根结点之外，分支结点也称为内部结点）
树的度：
树内各结点的度的最大值
孩子 双亲：
结点的子树的根称为该结点的孩子（Child）
相应地，该结点称为孩子的双亲
兄弟：
同一双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）
祖先 子孙：
结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点
反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙（下图中B的子孙有DGHI）
堂兄弟：
双亲在同一层的结点互为堂兄弟，如D、E、F互为堂兄弟
树的深度（Depth）或者高度：
树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或者高度，上图树的深度为4
有序树 无序树：
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则为无序树
森林：
m（m≥0）棵互不相交的树的集合
对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林
线性表与树结构的差异：
2、树的抽象数据类型
ADT 树（Tree）
Data
树是由一个根结点和若干棵子树构成。树中结点具有相同的数据类型及层次关系。
Operation
InitTree(*T): 构造空树T。
DestroyTree(*T): 销毁树T。
CreateTree(*T, definition): 按definition中给出树的定义来构造树。
ClearTree(*T): 若树T存在，则将树T清为空树。
TreeEmpty(T): 若T为空树，返回true，否则返回false。
TreeDepth(T): 返回T的深度。
Root(T): 返回T的根结点。
Value(T, cur_e): cur_e是树T中一个结点，返回此结点的值。
Assign(T, cur_e, value): 给树T的结点cur_e赋值给value。
Parent(T, cur_e): 若cur_e是树T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空。
LeftChild(T, cur_e): 若cur_e是树T的非叶结点，则返回它的最左孩子，否则返回空。
RightSibling(T, cur_e): 若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回空。
InsertChild(*T, *p, i, c): 其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度加上1，非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p所指结点的第i棵子树。
DeleteChild(*T, *p, i): 其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，操作结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。
endADT
3、树的存储结构
双亲表示法：
除了根结点外，其余每个结点不一定有孩子，但一定有且仅有一个双亲
用一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置
结点结构如下：
(其中data是数据域，存储结点的数据信息；parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标）
(由于根结点没有双亲，我们可以将根结点的位置域设置为-1）
| data | parent |
结点结构定义代码：
//树的双亲表示法结点结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;//树结点的数据类型，目前暂定为整型
typedef struct PTNode{//结点结构
TElemType data;//结点数据
int parent;//双亲位置
}PTNode;
typedef struct{//树结构
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];//结点数组
int r, n;//跟的位置和结点数
}PTree;
改进：
如果需要访问结点的孩子，则需要遍历整个结构，不如增加一个最左边孩子的域，即长子域
（如果结点没有孩子，则将其长子域设置为-1）
| data | parent | firstchild |
如果需要关注兄弟间的关系，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系
（如果右兄弟不存在，则赋值为-1）
| data | parent | rightsib |
孩子表示法——前言：
由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，这种方法叫做多重链表表示法。
方案一：
指针域的个数等于树的度，即树各个结点度的最大值。
| data | child1 | child2 | child3 | ...... | childd |
其中data是数据域。child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
这种方法的实现如下图：
这种方法对于树中各结点的度相差很大时，很浪费空间，因为有很多指针域都是空的
方案二：
每个结点指针域的个数等于该结点的度，取一个位置来存储结点指针域的个数。
| data | degree | child1 | child2 | ...... | childd |
其中data是数据域，degree为度域，也就是存储该结点的孩子结点个数。child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
这种方法的实现如下图：
改进：
这种方法克服了浪费空间的缺点，提高了空间的利用率，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。
仔细观察，为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但是每个结点的孩子个数是不确定的，所以再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系。
孩子表示法——正文：
把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。
然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如下图所示：
设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，如下所示：
| child | next |
其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子的结点的指针。
另一个是表头数组的表头结点，如下所示
| data | firstchild |
其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。
结构定义代码如下：
//树的孩子表示法结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode {//孩子结点
int child;
struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {//表头结构
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
} CTBox;
typedef struct {//树结构
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];//结点数组
int r, n;//根的位置和结点数
}CTree;
改进：
如果要知道某个结点的双亲，那就需要将整棵树遍历一遍，比较繁琐。
改进一下结构：
这种方法称为双亲孩子表示法。
孩子兄弟表示法：
设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟（记忆方法：左孩子右兄弟）
结点结构如下所示：
| data | firstchild | rightsib |
其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
结构定义代码如下：
//树的孩子兄弟表示法结构定义
typedef struct CTNode {
TElemType data;
struct CSNode *firstchild, *rightsib;
} CSNode, *CSTree;
这种方法实现的示意图如下：
这种表示法的最大好处是它把一棵复杂的树变成了一棵二叉树，变形上图后：
终于快到重点了，以上是第六章总结的上部分，中下部分主要以二叉树为主。
总结
考完数据结构后，就没怎么更新了，因为在复习其它科目。
现在回家了，家里有一大堆事，所以关于树的总结延迟了很多天。
树的内容挺多的，一开始打算全部写完，最终还是决定分而治之，把总结分成两部分，这样效率比较高。
说实在的，其实这样写总结，就类似抄书，本人不是很喜欢这种做法，所以从下一篇文章开始，就不再延用这种写法了。
有时候会迷茫，会放弃，但是冷静一下，想想自己到底要的是什么，就继续坚持下去了，加油！