leetcode刷题前必看算法基础和数据结构

编程基础知识

算法复杂度

编写程序需要注重算法复杂度，刷题时也存在多解，如何找到最优解成为一个需要重点关注的方向。 

算法复杂度：是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。应用于数学和计算机导论。同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

时间频度：一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。

时间复杂度：一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),存在一个正常数c使得f(n)*c>=T(n)恒成立。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n)(以2为底n的对数，下同),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

举例：求两个n阶方阵的乘积 C=A×B,其算法如下

# define n 100 // n 可根据需要定义,这里假定为100
void MatrixMultiply(int A[n][n]，int B [n][n]，int C[n][n])
{ //右边列为各语句的频度
    int i ,j ,k;
    for(i=0; i

该算法中所有语句的频度之和(即算法的时间耗费)为：

T(n)=2n^3+3n^2+2n+1

分析：

语句(1)的循环控制变量i要增加到n，测试到i=n成立才会终止。故它的频度是n+1。但是它的循环体却只能执行n次。语句(2)作为语句(1)循环体内的语句应该执行n次，但语句(2)本身要执行n+1次，所以语句(2)的频度是n(n+1)。同理可得语句(3)，(4)和(5)的频度分别是n^2，(n+1)n^2和n^3。当n充分大时，T(n)和n^3之比是一个不等于零的常数。即T(n)和n^3是同阶的，或者说T(n)和n^3的数量级相同。记作T(n)=O(n^3)是算法MatrixMultiply的渐近时间复杂度。主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。

空间复杂度：是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:S(n)=O(f(n))。

算法执行期间所需要的存储空间包括3个部分：

• 算法程序所占的空间；
• 输入的初始数据所占的存储空间；
• 算法执行过程中所需要的额外空间。

通常一个算法的复杂度是由其输入量决定的，随着输入的增加，复杂度不同算法的复杂度增长速度如下图所示。为了降低算法复杂度，应当同时考虑到输入量，设计较好的算法。

数据结构

数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

目前，程序设计中常用的数据结构包括如下几个：

数组(Array)

数组是一种聚合数据类型，它是将具有相同类型的若干变量有序地组织在一起的集合。数组可以说是最基本的数据结构，在各种编程语言中都有对应。一个数组可以分解为多个数组元素，按照数据元素的类型，数组可以分为整型数组、字符型数组、浮点型数组、指针数组和结构数组等。数组还可以有一维、二维以及多维等表现形式。

数组的基本操作：

• Insert——在指定索引位置插入一个元素
• Get——返回指定索引位置的元素
• Delete——删除指定索引位置的元素
• Size——得到数组所有元素的数量

面试中关于数组的常见问题：

• 寻找数组中第二小的元素
• 找到数组中第一个不重复出现的整数
• 合并两个有序数组
• 重新排列数组中的正值和负值

栈(Stack)

栈是一种特殊的线性表，它只能在一个表的一个固定端进行数据结点的插入和删除操作。栈按照后进先出的原则来存储数据，也就是说，先插入的数据将被压入栈底，最后插入的数据在栈顶，读出数据时，从栈顶开始逐个读出。栈在汇编语言程序中，经常用于重要数据的现场保护。栈中没有数据时，称为空栈。（后进先出）

举例：

著名的撤销操作几乎遍布任意一个应用。但它是如何工作的呢？这个问题的解决思路是按照将最后的状态排列在先的顺序，在内存中存储历史工作状态（当然，它会受限于一定的数量）。这没办法用数组实现。但有了栈，这就变得非常方便了。

栈的基本操作：

• Push——在顶部插入一个元素
• Pop——返回并移除栈顶元素
• isEmpty——如果栈为空，则返回true
• Top——返回顶部元素，但并不移除它

面试中关于栈的常见问题：

• 使用栈计算后缀表达式
• 对栈的元素进行排序
• 判断表达式是否括号平衡

队列(Queue)

队列和栈类似，也是一种特殊的线性表。和栈不同的是，队列只允许在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作。一般来说，进行插入操作的一端称为队尾，进行删除操作的一端称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。（先进先出）

举例：

售票亭排队队伍。如果有新人加入，他需要到队尾去排队，而非队首——排在前面的人会先拿到票，然后离开队伍。

队列的基本操作：

• Enqueue()——在队列尾部插入元素
• Dequeue()——移除队列头部的元素
• isEmpty()——如果队列为空，则返回true
• Top()——返回队列的第一个元素

面试中关于队列的常见问题：

• 使用队列表示栈
• 对队列的前k个元素倒序
• 使用队列生成从1到n的二进制数

链表(Linked List)

链表是一种数据元素按照链式存储结构进行存储的数据结构，这种存储结构具有在物理上存在非连续的特点。链表由一系列数据结点构成，每个数据结点包括数据域和指针域两部分。其中，指针域保存了数据结构中下一个元素存放的地址。链表结构中数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接次序来实现的。链表一般用于实现文件系统、哈希表和邻接表。

链表的基本操作：

• InsertAtEnd - 在链表的末尾插入指定元素
• InsertAtHead - 在链接列表的开头/头部插入指定元素
• Delete - 从链接列表中删除指定元素
• DeleteAtHead - 删除链接列表的第一个元素
• Search - 从链表中返回指定元素
• isEmpty - 如果链表为空，则返回true

面试中关于链表的常见问题：

• 反转链表
• 检测链表中的循环
• 返回链表倒数第N个节点
• 删除链表中的重复项

树(Tree)

树是典型的非线性结构，它是包括2个结点的有穷集合K。在树结构中，有且仅有一个根结点，该结点没有前驱结点。在树结构中的其他结点都有且仅有一个前驱结点，而且可以有多个后继结点，m≥0。树形结构被广泛应用于人工智能和复杂算法，它可以提供解决问题的有效存储机制。

以下是树形结构的主要类型：

• 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树
• 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树
• 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
• 完全二叉树：对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。（若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。）
• 满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。（国内定义：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。）
• 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
• N元树
• 平衡树
• 二叉搜索树
• AVL树
• 红黑树
• 2-3树

其中，二叉树和二叉搜索树是最常用的树。

面试中关于树结构的常见问题：

• 求二叉树的高度
• 在二叉搜索树中查找第k个最大值
• 查找与根节点距离k的节点
• 在二叉树中查找给定节点的祖先节点

字典树

这是一种高效的树形结构，单独举例说明。字典树，也称为“前缀树”，是一种特殊的树状数据结构，对于解决字符串相关问题非常有效。它能够提供快速检索，主要用于搜索字典中的单词，在搜索引擎中自动提供建议，甚至被用于IP的路由。

以下是在字典树中存储三个单词“top”，“thus”和“their”的例子：

 

这些单词以顶部到底部的方式存储，其中绿色节点“p”，“s”和“r”分别表示“top”，“thus”和“theirs”的底部。

面试中关于字典树的常见问题：

• 计算字典树中的总单词数
• 打印存储在字典树中的所有单词
• 使用字典树对数组的元素进行排序
• 使用字典树从字典中形成单词
• 构建T9字典（字典树+DFS）

图(Graph)

图是另一种非线性数据结构。在图结构中，数据结点一般称为顶点，而边是顶点的有序偶对。如果两个顶点之间存在一条边，那么就表示这两个顶点具有相邻关系。

图的类型：

• 无向图
• 有向图

在程序语言中，图可以用两种形式表示：

• 邻接矩阵
• 邻接表

常见图遍历算法：

• 广度优先搜索
• 深度优先搜索

面试中关于图的常见问题：

• 实现广度和深度优先搜索
• 检查图是否为树
• 计算图的边数
• 找到两个顶点之间的最短路径

堆(Heap)

堆是一种特殊的树形数据结构，一般讨论的堆都是二叉堆。堆的特点是根结点的值是所有结点中最小的或者最大的，并且根结点的两个子树也是一个堆结构。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

散列表（Hash，哈希表）

散列表源自于散列函数(Hash function)，其思想是如果在结构中存在关键字和T相等的记录，那么必定在F(T)的存储位置可以找到该记录，这样就可以不用进行比较操作而直接取得所查记录。

哈希法（Hashing）是一个用于唯一标识对象并将每个对象存储在一些预先计算的唯一索引（称为“键（key）”）中的过程。因此，对象以键值对的形式存储，这些键值对的集合被称为“字典”。可以使用键搜索每个对象。基于哈希法有很多不同的数据结构，但最常用的数据结构是哈希表。

哈希表通常使用数组实现。使用哈希表可以进行非常快速的查找操作，查找时间为常数，同时不需要元素排列有序；python的内建数据类型：字典，就是用哈希表实现的。python中的这些东西都是哈希原理：字典(dictionary)、集合(set)、计数器(counter)、默认字典Defaut dict)、有序字典(Order dict)。

散列数据结构的性能取决于以下三个因素：

• 哈希函数
• 哈希表的大小
• 碰撞处理方法

面试中关于哈希结构的常见问题：

• 在数组中查找对称键值对
• 追踪遍历的完整路径
• 查找数组是否是另一个数组的子集
• 检查给定的数组是否不相交