位运算模拟乘法，模指数运算

1. 整数乘法（位运算）

使用位运算模拟乘法，其遵照以下的数学原理，即：
$$\begin{gathered} ab=a(b_0{2}^0+b_1{2}^1+\cdot \cdot \cdot +b_{n-1}{2}^{n-1}) \\ =a(b_0{2}^0)+a(b_1{2}^1)+\cdot \cdot \cdot +a(b_{n-1}{2}^{n-1}) \end{gathered}$$
所以我们需要取得b二进制表示的每一位，并和a进行乘法运算。这里的乘法运算有如下规则：

a*0=0;
a*1=a;

所以可以将此转换为与运算，代码如下：

public int Dhrystone(int a, int b) {
    //需要获得b的每一位
    int ans=0;
    for(int i=0;;i++){
        if((b>>i)==0)     //如果b右移i位后得到0，说明其最高位就是i位，直接break
            break;
        if(((b>>i)&1)==0)//如果得到的当前数为0，不需要运算，如果是1，那么a*1=a
            continue;
        int tem=(a)<<i;  //将a移动b当前位数
        ans=ans+tem;
    }
    return ans;
}

2. 模指数运算

我们来计算在密码学中具有较强意义的bⁿ mod m,这里是不能先计算bⁿ再取余的，因为bⁿ太大了，所以这里可以将n进行和乘法中相同的拆解，则有：
$$b^n=b^{a_0{2}^0+a_1{2}^1+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}{2}^{n-1}}=b^{a_0{2}^0}\cdot \cdot \cdot b^{a_{n-1}{2}^{n-1}}$$
这里如果一个一个算分别和m取余，需要有处理，即：

令m是正整数，令a和b是整数，则：

ab mod m=（（a mod m）（b mod m））mod m

所以我们可以将bⁿ的每一项和m取余，再逐一乘，乘一次取一次余，代码实现如下：

public int Moduloremainder(int b, int n, int m) {
    int ans=1;
    int tem2=b%m;
    for(int i=0;;i++){
        if((n>>i)==0)
            break;
        if(((n>>i)&1)==0)
        {
            tem2=(tem2*tem2)%m;
            continue;
        }
        ans=(ans*tem2)%m;
        tem2=(tem2*tem2)%m;
    }
    return ans;
}

这里tem2表示b^(2的k次幂）和m取余的结果，k=0，1，2，3，····，n，实际上原理如下：
$$a^{2}modm=[(amodm)(amodm)]modm$$
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