Miller_Rabin
Part0 前言：
Miller_Rabin是一个高效判定素数的随机算法。
其运用到的理论知识是：费马小定理 \(and\) 二次探测定理。
Part1 费马小定理：
关于这个定理没什么好多讲的。
\[ 若p是素数,则\ \ a^p\equiv a\mod p \]
Part2 二次探测定理：
\[ 若a^2\equiv 1\mod p\ 且p是素数\\ 则a\equiv1\ or\ a\equiv p-1\ (mod\ p) \]
定理的证明直接移项即可。
\[ \ \ a^2\equiv 1\mod p\\ \therefore (a-1)(a+1)\equiv0\mod p\\ \therefore p\mid (a-1)(a+1)\\ \because p是素数\ (不是素数不能继续向下！)\\ \therefore p\mid a-1 \ or \ p\mid a+1\\ 即\ a\equiv1\ or \ a\equiv a-1\ (mod\ p) \]
Part3 Miller_Rabin:
假设当前需要判定的数是x。
一、那么若x为质数那么需要满足费马小定理。
满足费马小定理只是x为素数的一个必要条件。如果连费马小定理都无法满足，必然不可能是素数。
二、但是上述条件并不充分。所以需要利用二次探测定理来进行再判断。
由费马小定理显然有$ a^{x-1}\equiv 1\mod x$。
又由二次探测定理有：
若\(2 \mid x-1\)，则\(a^{\frac{x-1}{2}}\equiv 1\ or \ a^{\frac{x-1}{2}}\equiv x-1\)。
若不满足二者中任意一个,则说明不是素数。
若满足\(a^{\frac{x-1}{2}}\equiv 1\)，则可以继续二次探测。
若满足\(a^{\frac{x-1}{2}}\equiv x-1\)，则无法继续探测，认定x为素数。
若不满足\(2 \mid x-1\)，无法继续探测，认定x为素数。
这就是Miller_Rabin的全部过程。
事实上仍然存在很少一部分强伪素数无法被Miller_Rabin判掉。
我们可以通过多选几个数来多次判定，使这样的情况发生的概率尽可能小就好了，算法的随机就体现在这里了。
Part4 代码实现：
在代码实现过程中，若直接模拟上述流程，每一次除以2后，都需要求一个快速幂，计算次数较多。
而如果提前把所有能提出的2都先提出来，反向模拟这一过程，就只需要不断乘上自己就好了。程序会跑的更快！
IL int Miller_Rabin(int x) {
if(x<2) return 0;
if(x==2||x==3||x==5||x==7) return 1;
RG int i,j,k=x-1,cnt=0,now;
while(!(k&1)) k>>=1,++cnt;
//先把所有的2给提出来，然后在一个一个乘上去，这样比直接做快
for(i=1;i<=4;++i) {
if(Pow(prm[i],x-1,x)!=1) return 0; //费马小定理
now=Pow(prm[i],k,x);
if(now==1||now==x-1) continue;
now=now*now%x;
for(j=1;j<=cnt;++j,now=now*now%x)
if(now==x-1) break;
if(j>cnt) return 0;
}
return 1;
}