形式语言与自动机总结笔记

形式语言与自动机

  • MOOC:形式语言与自动机理论
  • GitHub课件资源:gzn00417/2020Spring-Formal-Languages-and-Automata

教学大纲

  • 正则语言
    • 2 有穷自动机
      2.1 确定的有穷自动机
      2.2 非确定有穷自动机
      2.3 带有空转移的非确定有穷自动机
    • 3 正则表达式
      3.1 正则表达式
      3.2 自动机和正则表达式
      3.3 正则表达式的代数定律
    • 4 正则语言的性质
      4.1 正则语言的泵引理
      4.2 正则语言的封闭性
      4.3 正则语言的判定性质
      4.4 自动机最小化
  • 上下文无关语言
    • 5 上下文无关文法
      5.1 上下文无关文法
      5.2 语法分析树
      5.3 文法和语言的歧义性
      5.4 文法的化简和范式
    • 6 下推自动机
      6.1 下推自动机
      6.2 下推自动机的语言
      6.3 下推自动机与文法的等价性
      6.4 确定性下推自动机
    • 7 上下文无关语言的性质
      7.1 上下文无关语言的泵引理
      7.2 上下文无关语言的封闭性
      7.3 上下文无关语言的判定性质
  • 计算导论
    • 8.1 图灵机及其扩展
    • 8.2 不可判定性

主要考点

  • 构造自动机:DFA、NFA、ε-NFA、PDA、DPDA、TM
  • 设计正则表达式/正则文法、上下文无关文法
  • 泵引理+封闭性证明不是正则语言
  • 等价性转换
    • NFA和DFA
    • FA和正则表达式
    • PDA和CFG
  • CNF和GNF
  • 语言的接受和设计

文章目录

  • 形式语言与自动机
    • 教学大纲
    • 主要考点
    • 1. 确定的有穷自动机(DFA)
    • 2. 非确定的有穷自动机(NFA)
    • 3. 带有空转移的非确定有穷自动机(ε-NFA)
    • 4. DFA和NFA的等价性与转换
    • 5. DFA化简:状态等价性和填表算法
      • 5.1 等价和可区分
      • 5.2 填表算法 Table-Filling Algorithm
    • 6. 正则表达式(Regular Express)
    • 7. 正则表达式和有穷自动机的等价关系与转换
      • 7.1 正则表达式-->自动机
        • 7.1.1 并(加号)的转换
        • 7.1.2 幂(星号)的转换
      • 7.2 自动机-->正则表达式
        • 7.2.1 删除状态法
        • 7.2.2 归纳法
    • 8. 正则语言的性质
      • 8.1 泵引理
      • 8.2 封闭性
    • 9. 上下文无关文法(CFG)
      • 9.1 规约
      • 9.2 派生
      • 9.3 解析树
      • 9.4 歧义
    • 10. 上下文无关文法的化简
      • 10.1 消除无用符号
      • 10.2 消除ε产生式
      • 10.3 消除单元产生式
    • 11. 上下文无关文法的范式
      • 11.1 乔姆斯基范式(CNF)
      • 11.2 格雷巴赫范式(GNF)
    • 12. 下推自动机(PDA)
      • 12.1 瞬时描述(ID)
        • 12.1.1 转移
      • 12.2 下推自动机接受的语言(终态/空栈)
    • 13. CFG ⟺ \Longleftrightarrow PDA(等价性)
      • 13.1 CFG ⟹ \Longrightarrow PDA
      • 13.2 PDA ⟹ \Longrightarrow CFG
    • 14. GNF ⟹ \Longrightarrow PDA
    • 15. 确定性下推自动机(DPDA)
    • 16 上下文无关语言的泵引理
    • 17 上下文无关语言的封闭性
      • 17.1 代换
      • 17.2 封闭性应用
    • 18 上下文无关语言的判定性质
      • 18.1 可判定的 CFL 问题
      • 18.2 CYK算法
      • 18.3 不可判定的 CFL 问题
    • 19. 图灵机
      • 19.1 瞬时描述(ID)
      • 19.2 递归可枚举语言
      • 19.3 真减法
      • 19.4 乘法

1. 确定的有穷自动机(DFA)

确定的有穷自动机(DFA, Deterministic Finite Automaton) A 为五元组
A = ( Q , Σ , δ , q 0 , F ) A = (Q, Σ, δ, q0, F) A=(Q,Σ,δ,q0,F)

  1. Q Q Q : 有穷状态集;
  2. Σ Σ Σ : 有穷输入符号集或字母表;
  3. δ δ δ : Q × Σ → Q Q × Σ → Q Q×ΣQ, 状态转移函数;
  4. q 0 q^0 q0 ∈ Q : 初始状态;
  5. F ⊆ Q F ⊆ Q FQ : 终结状态集或接受状态集.

例:请设计 DFA, 在任何由 0 和 1 构成的串中, 接受含有 01 子串的全部串.

  1. 未发现 01, 即使 0 都还没出现过;
  2. 未发现 01, 但刚刚读入字符是 0;
  3. 已经发现了 01

因此 DFA A 的可定义为:
A   =   ( { q 1 ,   q 2 ,   q 3 } ,   { 0 ,   1 } ,   δ ,   q 1 ,   { q 3 } ) A\ = \ (\{ q1,\ q2,\ q3\},\ \{ 0,\ 1\},\ \delta,\ q1,\ \{ q3\}) A = ({q1, q2, q3}, {0, 1}, δ, q1, {q3})

  • 其中 δ 为:
    δ ( q 1 , 1 ) = q 1 δ(q1, 1) = q1 δ(q1,1)=q1
    δ ( q 2 , 1 ) = q 3 δ(q2, 1) = q3 δ(q2,1)=q3
    δ ( q 3 , 1 ) = q 3 δ(q3, 1) = q3 δ(q3,1)=q3
    δ ( q 1 , 0 ) = q 2 δ(q1, 0) = q2 δ(q1,0)=q2
    δ ( q 2 , 0 ) = q 2 δ(q2, 0) = q2 δ(q2,0)=q2
    δ ( q 3 , 0 ) = q 3 δ(q3, 0) = q3 δ(q3,0)=q3

  • 状态转移图
    形式语言与自动机总结笔记_第1张图片

    • 每个状态 q 对应一个节点, 用圆圈表示;
    • 状态转移 δ(q, a) = p 为一条从 q 到 p 且标记为字符 a 的有向边;
    • 开始状态 q0 用一个标有 start 的箭头表示;
    • 接受状态的节点, 用双圆圈表示.
  • 状态转移表
    形式语言与自动机总结笔记_第2张图片

2. 非确定的有穷自动机(NFA)

非确定有穷自动机(NFA, Nondeterministic Finite Automaton) A 为五元组
A = ( Q , Σ , δ , q 0 , F ) A = (Q, Σ, δ, q0, F) A=(Q,Σ,δ,q0,F)

  1. Q Q Q : 有穷状态集;
  2. Σ Σ Σ : 有穷输入符号集或字母表;
  3. δ δ δ : Q × Σ = 2 Q Q \times \Sigma = 2^{Q} Q×Σ=2Q, 状态转移函数;
  4. q 0 q^0 q0 ∈ Q : 初始状态;
  5. F ⊆ Q F ⊆ Q FQ : 终结状态集或接受状态集.

与DFA区别

  • δ δ δ : Q × Σ = 2 Q Q \times \Sigma = 2^{Q} Q×Σ=2Q
  • 转移后为一个状态集合
  • 同一个状态在相同的输入下,可以有多个转移状态
  • 自动机可以处在多个当前状态

例:接受全部以 01 结尾的串的 NFA.

解:五元组为 A   =   ( { q 0 ,   q 1 ,   q 2 } ,   { 0 ,   1 } ,   δ ,   q 0 ,   { q 2 } ) A\ = \ (\{ q0,\ q1,\ q2\},\ \{ 0,\ 1\},\ \delta,\ q0,\ \{ q2\}) A = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q2})
转移函数 δ:

  • δ ( q 0 ,   0 )   =   { q 0 ,   q 1 } \delta(q0,\ 0)\ = \ \{ q0,\ q1\} δ(q0, 0) = {q0, q1}
  • δ ( q 1 ,   0 )   =   ∅ \delta(q1,\ 0)\ = \ \varnothing δ(q1, 0) = 
  • δ ( q 2 ,   0 )   =   ∅ \delta(q2,\ 0)\ = \ \varnothing δ(q2, 0) = 
  • δ ( q 0 ,   1 )   =   { q 0 } \delta(q0,\ 1)\ = \ \{ q0\} δ(q0, 1) = {q0}
  • δ ( q 1 ,   1 )   =   { q 2 } \delta(q1,\ 1)\ = \ \{ q2\} δ(q1, 1) = {q2}
  • δ ( q 2 ,   1 )   =   ∅ \delta(q2,\ 1)\ = \ \varnothing δ(q2, 1) = 

形式语言与自动机总结笔记_第3张图片

3. 带有空转移的非确定有穷自动机(ε-NFA)

DFA、NFA和ε-NFA性质:

  • 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能有多个转移
  • 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能没有转移
  • 自动机在某状态, 可能不读入字符, 就进行转移

ε-NFA与NFA

  • 不读入字符,就进行转移的NFA
  • Q × ( Σ ∪ { ε } ) = 2 Q Q \times (\Sigma \cup \left\{ \varepsilon \right\}) = 2^{Q} Q×(Σ{ε})=2Q

例:语言 L = w ∈ 0 , 1 ∗ ∣ w 倒 数 3 个 字 符 至 少 有 一 个 是 1 L = {w ∈ {0, 1}∗ | w 倒数 3 个字符至少有一个是 1} L=w0,1w31 的ε-NFA.

  • 状态转移图
    形式语言与自动机总结笔记_第4张图片
  • 状态转移表
    形式语言与自动机总结笔记_第5张图片

此后, 不再明确区分 ε-NFA 和 NFA, 而认为它们都是 NFA.

4. DFA和NFA的等价性与转换

ε − 闭 包 : q 0 → 所 有 q 0 能 到 达 的 状 态 的 集 合 ε-闭包: {q_0} → {所有q_0能到达的状态的集合} εq0q0
记为 E c l o s e ( q ) Eclose(q) Eclose(q)

例:求以下状态的 ε − c l o s u r e ε - closure εclosure
形式语言与自动机总结笔记_第6张图片
解:

  • E ( 1 ) = { 1 , 2 , 4 , 3 , 6 } E(1) = \{ 1, 2, 4, 3, 6 \} E(1)={1,2,4,3,6}
  • E ( 2 ) = { 2 , 3 , 6 } E(2) = \{ 2, 3, 6 \} E(2)={2,3,6}
  • E ( 3 ) = { 3 , 6 } E(3) = \{ 3, 6 \} E(3)={3,6}
  • E ( 4 ) = { 4 } E(4) = \{ 4 \} E(4)={4}
  • E ( 5 ) = { 5 , 7 } E(5) = \{ 5, 7 \} E(5)={5,7}
  • E ( 6 ) = { 6 } E(6) = \{ 6 \} E(6)={6}
  • E ( 7 ) = { 7 } E(7) = \{ 7 \} E(7)={7}

扩展转移函数
形式语言与自动机总结笔记_第7张图片

例:将以下NFA转换为DFA
形式语言与自动机总结笔记_第8张图片

解:

  • 状态转移表和ε-闭包为形式语言与自动机总结笔记_第9张图片
  • 设置初状态 { q 0 } \{q_0 \} {q0}
    • 当输入0时, { q 0 } → { q 0 } \{q_0\} → \{q_0\} {q0}{q0},不变,则 { q 0 } \{q_0\} {q0}的ε-闭包还是为 { q 0 } \{q_0\} {q0}
    • 当输入1时, { q 0 } → { q 0 , q 1 } \{q_0\} → \{q_0, q_1\} {q0}{q0,q1},则 { q 0 , q 1 } \{q_0, q_1\} {q0,q1}的ε-闭包为 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 因此状态转移函数如下
0 0 0 1 1 1
{ q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 出现新状态 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
    • 当输入0时, { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } → { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} → \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}{q0,q2,q3},则 { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3}的ε-闭包为 { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3}
    • 当输入1时, { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } → { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} → \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}{q0,q1,q2,q3},则 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}的ε-闭包为 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 因此状态转移函数如下
0 0 0 1 1 1
{ q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3} { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 出现新状态 { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3}
    • 当输入0时, { q 0 , q 2 , q 3 } → { q 0 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} → \{q_0, q_3\} {q0,q2,q3}{q0,q3},则 { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3}的ε-闭包为 { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3}(红色为原转移,绿色为转移后的闭包) 形式语言与自动机总结笔记_第10张图片
    • 当输入1时, { q 0 , q 2 , q 3 } → { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} → \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q2,q3}{q0,q1,q2,q3},则 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}的ε-闭包为 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 因此状态转移函数如下
0 0 0 1 1 1
{ q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3} { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 出现新状态 { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3}
  • 同理,因此状态转移函数如下
0 0 0 1 1 1
{ q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3} { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
{ q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
  • 最后,将 q 0 q_0 q0设为初始状态,且将含有原转移终止符( q 3 q_3 q3)的状态设置为终止状态,即 { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3} { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3}均为终止状态
0 0 0 1 1 1
→ { q 0 } →\{q_0\} {q0} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
∗ { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } * \{q_0, q_1,q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3} { q 0 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
∗ { q 0 , q 2 , q 3 } * \{q_0, q_2, q_3\} {q0,q2,q3} { q 0 , q 3 } \{q_0, q_3\} {q0,q3} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}
∗ { q 0 , q 3 } * \{q_0, q_3\} {q0,q3} { q 0 } \{q_0\} {q0} { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } \{q_0, q_1, q_2, q_3\} {q0,q1,q2,q3}

5. DFA化简:状态等价性和填表算法

5.1 等价和可区分

对于任意两个状态,一定是

  • 等价
  • 可区分

二者之一

  • 等价

    • 即:当两个状态为等价时,对于任意一个输入符,转移状态同时为终止状态或同时不是
      • 注:不一定相同
      • 因此:不提及两个状态的转移状态是否相同
  • 可区分

    • 即:当两个状态为可区分时(不等价),存在至少一个输入符,转移状态不同时为终止(不同时为非终止)

例:化简以下DFA
形式语言与自动机总结笔记_第11张图片

5.2 填表算法 Table-Filling Algorithm

  1. 直接标记终态和非终态之间的状态对
  2. 标记所有经过字符 0 到达终态和非终态的状态对
    - {D, F }×{A, B, C, E, G, H}
  3. 标记所有经过字符 1 到达终态和非终态的状态对
    - {B, H }×{A, C, D, E, F, G}
  4. 此时还有 [A,E], [A,G], [B,H], [D,F], [E,G] 未标记, 只需逐个检查.
    - [A,G] 是可区分的, 因为经串 01 到可区分的 [C,E];
    - [E,G] 是可区分的, 因为经串 10 到可区分的 [C,H].
  5. [A,E], [B,H] 和 [D,F] 在经过很短的字符串后, 都会到达相同状态,因此都是等价的.
  • 填表完成后如下图
    形式语言与自动机总结笔记_第12张图片
  • 合并等价状态(最小化)
    形式语言与自动机总结笔记_第13张图片
    形式语言与自动机总结笔记_第14张图片

6. 正则表达式(Regular Express)

语言是字符串集合。
语言的运算:并、连接、幂、克林闭包

递归定义:
如果E为字母表,则2上的正则表达式递归定义为:

  • 0是一个正则表达式,表示空语言;
  • ε ε ε是一个正则表达式,表示语言{e};
  • 任意 a ∈ E a∈E aE,a是一个正则表达式,表示语言{a};
  • 如果正则表达式 r 和 s 分别表示语言 R R R S S S,那么 r + s , r s , r ∗ 和 ( r ) r+s,rs, r^*和 ( r ) r+srs,r(r)都是正则表达式
  • 分别表示语言 R ∪ S , R ⋅ S , R ∗ 和 R R∪S,R·S,R*和R RSRSRR

优先级:括号>星(*)>连接(×)>加(+)

例:L = {w | w ∈ {0, 1}∗ and w has no pair of consecutive 0’s.}

  • 解:1∗(011∗)∗(0 + ε) 或 (1 + 01)∗(0 + ε)

7. 正则表达式和有穷自动机的等价关系与转换

  • 正则表达式与有穷自动机等价
  • 有穷自动机可以识别正则语言
  • 正则表达式生成正则语言
    形式语言与自动机总结笔记_第15张图片
    形式语言与自动机总结笔记_第16张图片

7.1 正则表达式–>自动机

正则表达式到自动机的转换分为以下4种

  • 连接(乘法)
  • 并(加法)
  • 幂(星)
  • 闭包

例:正则表达式 ( 0 + 1 ) ∗ 1 ( 0 + 1 ) (0+1)^*1(0+1) (0+1)1(0+1)转换为 ε − N F A ε-NFA εNFA

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7.1.1 并(加号)的转换

例: 0 + 1 0+1 0+1
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7.1.2 幂(星号)的转换

例: ( 0 + 1 ) ∗ (0+1)^* (0+1)

  • 蓝色圈内为一个整体,表示幂运算的底
  • 上方的红箭头是递归,即循环出现
  • 下方的红箭头是蓝色圈内内容一个都不出现的情况,对应该题 ε ε ε,即空串情况
    形式语言与自动机总结笔记_第19张图片
    形式语言与自动机总结笔记_第20张图片形式语言与自动机总结笔记_第21张图片形式语言与自动机总结笔记_第22张图片

7.2 自动机–>正则表达式

若干例题

  • 通过7.1的逆向推导得出

形式语言与自动机总结笔记_第23张图片
2.
形式语言与自动机总结笔记_第24张图片
3.
形式语言与自动机总结笔记_第25张图片

7.2.1 删除状态法

  1. 添加首尾两个状态;
  2. 从最小的单元开始化简为正则表达式,去掉这个单元,新增一条边,写上转换的表达式;
  3. 最后一条表达式即为结果;
    形式语言与自动机总结笔记_第26张图片

7.2.2 归纳法

  • Pick every label on the path from q 0 q_0 q0 to q 2 q_2 q2 ---- one by one
  • Form every R e g E x p RegExp RegExp on the path from q 0 q_0 q0 to q 2 q_2 q2 ---- one by one

R i j ( k ) : 0 < = k < = n R_{ij}^{(k)}: 0<=k<=n Rij(k):0<=k<=n i i i j j j路径上的正则表达式

  • no inner node is greater than k

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当k≥1时进行归纳法
公式

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例:
形式语言与自动机总结笔记_第30张图片

解:
形式语言与自动机总结笔记_第31张图片

8. 正则语言的性质

8.1 泵引理

  • 确定一个语言是正则语言?
      • DFA
      • NFA
      • ε-NFA
      • 正则表达式
      • 泵引理,反证法

形式语言与自动机总结笔记_第32张图片

即:前 N N N的字符中存在一段可以在该位置循环出现
泵引理只是正则语言的必要条件,只能用来证明某个语言不是正则的

证明
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形式语言与自动机总结笔记_第35张图片

8.2 封闭性

正则语言经某些运算后得到的新语言仍保持正则,称正则语言在这些运算下封闭

正则语言 L 和 M, 在这些运算下封闭

  • 并: L ∪ M L \cup M LM
  • 连接: L M LM LM
  • 闭包: L ∗ L^* L
  • 补: L ‾ \overline{L} L
  • 差: L − M L-M LM
  • 交: L ∩ M L \cap M LM
  • 反转: L R = { w R ∣ w ϵ L } L^{R} = \left\{ w^{R}|w\epsilon L \right\} LR={wRwϵL}
  • 同态
  • 逆同态

考点:能够运用这些性质,结合泵引理证明一个语言是否是正则语言

自动机的转换

  • 并:使用 ε − N F A ε-NFA εNFA,新建初始状态节点,空转移到原来的初始状态;
  • 连接:前者终止状态空转移到后者初始状态;
  • 闭包:增加新终止状态,原终止状态空转移到新终止状态以及初始状态;
  • 补:终止状态取补
  • 反转:新增终止状态,原终止状态空转移到新终止状态,然后所有边逆向,是(非)终止状态改为非(是)终止状态;

证明思路

9. 上下文无关文法(CFG)

定义:上下文无关文法(CFG, 简称文法) G 是一个四元组 G = ( V , T , P , S ) G = (V, T, P, S) G=(V,T,P,S)

  • V V V : 变元的有穷集, 变元也称为非终结符或语法范畴;
  • T T T: 终结符的有穷集, 且 V ∩ T = ∅;
  • P P P: 产生式的有穷集, 每个产生式包括:
    • 一个变元, 称为“产生式的头或左部”;
    • 一个产生式符号 →, 读作“定义为”;
    • 一个 ( V ∪ T ) ∗ (V ∪ T)^* (VT)中的符号串, 称为“体或右部”;
  • S ∈ V S ∈V SV:初始符号, 文法开始的地方.

产生

  • 产生式 A → α A → α Aα,读作 A 定义为 α
  • 如果有多个 A 的产生式 A → α 1 , A → α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , A → α n A → α_1, A → α_2, · · · , A → α_n Aα1,Aα2,,Aαn
  • 可简写为 A → α 1 ∣ α 2 ∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣ α n A → α_1 | α_2 | · · · | α_n Aα1α2αn
  • 文法中变元 A 的全体产生式, 称为 A 产生式

符号

  • 终结符: 0, 1, . . . , a, b, . . .
  • 终结符串: . . . , w, x, y, z
  • 非终结符: S, A, B, . . .
  • 终结符或非终结符: . . . , X, Y, Z
  • 终结符或非终结符组成的串: α, β, γ, . . .

例:

  • 回文
    G = ( A , 0 , 1 , A → ε ∣ 0 ∣ 1 ∣ 0 A 0 ∣ 1 A 1 , A ) G = ({A}, {0, 1}, {A → ε | 0 | 1 | 0A0 | 1A1}, A) G=(A,0,1,Aε010A01A1,A)
  • L={ w∈{0,1}* | w contains same number of 0’s and 1’s }
    R = ( S , 0 , 1 , P , S ) R = ({S }, {0,1}, P, S ) R=(S,0,1,P,S)
    P : S → ε ∣ 0 S 1 ∣ 1 S 0 ∣ S S P:S → ε | 0S1 | 1S0 | SS PSε0S11S0SS
  • 从字符串到文法变元的分析过程, 称为递归推理或归约;
    归约: 自底向上, 由产生式的体向头的分析
  • 从文法变元到字符串的分析过程, 称为推导或派生.
    派生: 自顶向下, 由产生式的头向体分析

形式语言与自动机总结笔记_第36张图片

9.1 规约

例:用算数表达式文法 G e x p G_{exp} Gexp, 将 a ∗ ( a + b 00 ) a ∗ (a + b00) a(a+b00) 归约的过程

  1. E → I
  2. E → E + E
  3. E → E ∗ E
  4. E → (E)
  5. I → a
  6. I → b
  7. I → Ia
  8. I → Ib
  9. I → I0
  10. I → I1

目标:从 a ∗ ( a + b 00 ) a ∗ (a + b00) a(a+b00)规约到 E E E

解:

  • a ∗ ( a + b 00 ) a ∗ (a + b00) a(a+b00)
  • I ∗ ( I + b 00 ) I ∗ (I + b00) I(I+b00)
  • I ∗ ( I + I 00 ) I ∗ (I + I00) I(I+I00)
  • I ∗ ( I + I 0 ) I ∗ (I + I0) I(I+I0)
  • I ∗ ( I + I ) I ∗ (I + I) I(I+I)
  • E ∗ ( E + E ) E ∗ (E + E) E(E+E)
  • E ∗ E E ∗ E EE
  • E E E

即:形式语言与自动机总结笔记_第37张图片

9.2 派生

  • 最左派生
  • 最右派生

为限制派生的随意性, 要求只替换符号串中最左边变元的派生过程, 称为
左派生
, 记为
⟹ l m 或 ⟹ lm ∗ \underset{lm}{\Longrightarrow} 或 \overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}} lmlm
只替换最右的, 称为最右派生, 记为
⟹ r m 或 ⟹ rm ∗ \underset{rm}{\Longrightarrow} 或 \overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}} rmrm
任何派生都有等价的最左派生和最右派生

  • A ⟹ ∗ w A\overset{*}{\Longrightarrow}w Aw 当且仅当 A ⟹ lm ∗ w A\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}w Almw 当且仅当 A ⟹ rm ∗ w A\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}w Armw
  • 即:最左和最右派生同时存在或不存在

w w w L ( G ) L(G) L(G)中时满足:

  • w w w仅由终结符组成
  • 初始符号 S S S能派生出 w w w

即:
L ( G ) = { w   ∣   w ϵ T ∗ ,   S ⟹ G ∗ w } L\left( G \right) = \left\{ w\ |\ w\epsilon T^{*},\ S\overset{*}{\underset{G}{\Longrightarrow}}w \right\} L(G)={w  wϵT, SGw}

语言 L 是某个 CFG G 定义的语言, 即 L = L ( G ) L = L(G) L=L(G), 则称 L 为上下文无关语言(CFL, Context-Free Language).

  • 上下文无关是指在文法派生的每一步 α A β ⇒ α γ β αAβ ⇒ αγβ αAβαγβ,符号串 γ 仅根据 A 的产生式派生, 而无需依赖 A 的上下文 α 和 β.
  • 如果有两个文法 CFG G1 和 CFG G2,满足L(G1) = L(G2),则称 G1 和 G2 是等价的.
  • 句型
    • C F G G = ( V , T , P , S ) CFG G = (V, T, P, S) CFGG=(V,T,P,S), 初始符号 S 派生出来的符号串, 称为 G 的句型, 即
    • α ∈ ( V ∪ T ) ∗ \alpha \in \left( V \cup T \right)^{*} α(VT) S ⟹ ∗ a S\overset{*}{\Longrightarrow}a Sa
    • 如果 S ⟹ lm ∗ α S\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}\alpha Slmα,称 α \alpha α为左句型
    • 如果 S ⟹ rm ∗ α S\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}\alpha Srmα,称 α \alpha α为右句型
    • 只含有终结符的句型, 也称为 G 的句子
    • 而 L(G) 就是文法 G 全部的句子

9.3 解析树

CFG G = (V, T, P, S) 的语法分析树(语法树或派生树) 为:

  • 每个内节点标记为 V 中的变元符号;
  • 每个叶节点标记为 V ∪ T ∪ {ε} 中的符号;
  • 如果某内节点标记是 A, 其子节点从左至右分别为X1, X2, · · · , Xn
    • 那么 A → X 1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X n ∈ P A → X1X2 · · · Xn ∈ P AX1X2XnP
    • 若有 Xi = ε, 则 ε 是 A 唯一子节点, 且 A → ε ∈ P
  • 语法树的全部叶节点从左到右连接起来, 称为该树的产物或结果. 如果树根节点是初始符号 S, 叶节点是终结符或 ε, 那么该树的产物属于 L(G).
  • 语法树中标记为 A 的内节点及其全部子孙节点构成的子树, 称为 A 子树.

例:
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CFG G = (V, T, P, S) 且 A ∈ V , 那么文法 G 中

  • A ⟹ ∗ α A\overset{*}{\Longrightarrow}\alpha Aα 当且仅当 G 中存在以 A 为根节点产物为 α 的语法树
  • 每棵语法分析树都有唯一的最左 (右) 派生
  • 给定 CFG G = (V, T, P, S), A ∈ V , 以下命题等价:
    1. 通过递归推理, 确定串 w 在变元 A 的语言中
    2. 存在以 A 为根节点, 产物为 w 的语法分析树
    3. A ⟹ ∗ w A\overset{*}{\Longrightarrow}w Aw
    4. A ⟹ lm ∗ w A\overset{*}{\underset{\text{lm}}{\Longrightarrow}}w Almw
    5. A ⟹ rm ∗ w A\overset{*}{\underset{\text{rm}}{\Longrightarrow}}w Armw

9.4 歧义

形式语言与自动机总结笔记_第39张图片

有些文法的歧义性, 可以通过重新设计文法来消除

形式语言与自动机总结笔记_第40张图片

  • 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的,那么称语言 L 是固有歧义的
  • 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的, 那么称语言 L 是固有歧义的.
  • “判定任何给定 CFG G 是否歧义”是一个不可判定问题

10. 上下文无关文法的化简

文法化简的可靠顺序

  1. 消除ε-产生式;
  2. 消除单元产生式;
  3. 消除非产生的无用符号;
  4. 消除非可达的无用符号.

10.1 消除无用符号

  • 无用符号:对文法定义语言没有贡献的符号

形式语言与自动机总结笔记_第41张图片

  • 初始符号在派生过程中能派生的语言,前后为若干终止符、中间的单一符号为可达的
  • 某一符号和前后的若干终止符能够最终派生为均为终止符的语言,则其是产生的
  • 可达 + 产生 = 有用
  • 非(有用)= 无用 = 非(可达) 或 非(产生)

步骤:

  1. 计算“产生的”符号集
    • 每个 T 中的符号都是产生的
    • A → α ∈ P 且 α 中符号都是产生的, 则 A 是产生的
  2. 计算“可达的”符号集
    • 符号 S 是可达的
    • A → α ∈ P 且 A 是可达的, 则 α 中符号都是可达的
  3. 删除全部含有 “非产生的” 和 “非可达的” 符号的产生式

注:先寻找并消除全部非“产生的”符号,再寻找并消除全部非“可达的”符号,否则可能消除不完整。

  • 例:消除如下文法无用符号
    S → AB | a
    A → b
  • 解:S → bB | a

10.2 消除ε产生式

步骤:

  • 确定“可空变元”
    • 如果 A → ε, 则 A 是可空的
    • 如果 B → α 且 α 中的每个符号都是可空的,则 B 是可空的
  • 确定“可空变元”
    • 将含有可空变元的一条产生式 A → X 1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X n A → X_1X_2 · · · X_n AX1X2Xn用一组产生式 A → Y 1 Y 2 ⋅ ⋅ ⋅ Y n A → Y_1Y_2 · · · Y_n AY1Y2Yn代替,其中
      • 若 Xi 不是可空的, Yi 为 Xi
      • 若 Xi 是可空的, Yi 为 Xi 或 ε
      • 但 Yi 不能全为 ε (否则A为可空变元)

例:

  • 消除 CFG G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) 的 ε-产生式.
    S → AB
    A → AaA | ε
    B → BbB | ε

解:

  • CFG G′ 为
    S → AB | A | B
    A → AaA | Aa | aA | a
    B → BbB | Bb | bB | b

10.3 消除单元产生式

单元产生式:例如 A → B

步骤:

  • 确定“单元对”
    • 如果有 A ⟹ ∗ B A\overset{*}{\Longrightarrow}B AB, 则称 [ A , B ] [A, B] [A,B] 为单元对
    • A → B ∈ P, 则 [A, B] 是单元对
    • 若 [A, B] 和 [B, C] 都是单元对, 则 [A, C] 是单元对
  • 消除单元产生式
    • 删除全部形为 A → B 的单元产生式
    • 对每个单元对 [A, B], 将 B 的产生式复制给 A

例:

  • 消除文法的单元产生式
    S → A | B | 0S1
    A → 0A | 0
    B → 1B | 1

解:

  • 单位对为 [S, A] 和 [S, B], 带入得:
    S → 0S1
    S → 0A | 0
    S → 1B | 1
    A → 0A | 0
    B → 1B | 1

11. 上下文无关文法的范式

11.1 乔姆斯基范式(CNF)

  • 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为 A → B C A → BC ABC A → a A → a Aa
  • 这里的 A, B 和 C 是变元, a 是终结符.
  • 利用 CNF 派生长度为 n 的串, 刚好需要 2n − 1 步

方法:
形式语言与自动机总结笔记_第42张图片

例:

  • CFG G = ( S , A , B , a , b , P , S ) G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) G=(S,A,B,a,b,P,S), 产生式集合 P 为:
    S → b A ∣ a B S → bA | aB SbAaB
    A → b A A ∣ a S ∣ a A → bAA | aS | a AbAAaSa
    B → a B B ∣ b S ∣ b B → aBB | bS | b BaBBbSb
  • 请设计等价的 CNF 文法.

解:

  • CNF 为:
    S → C b A ∣ C a B S → CbA | CaB SCbACaB
    A → C a S ∣ C b D 1 ∣ a A → C_aS | C_bD_1 | a ACaSCbD1a
    D 1 → A A D1 → AA D1AA
    C a → a C_a → a Caa
    B → C b S ∣ C a D 2 ∣ b B → C_bS | C_aD_2 | b BCbSCaD2b
    D 2 → B B D2 → BB D2BB
    C b → b C_b → b Cbb

11.2 格雷巴赫范式(GNF)

  • 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为 A → a α A → aα Aaα
    其中 A 是变元, a 是终结符, α 是零或多个变元的串.
  • GNF 每个产生式都会引入一个终结符
  • 长度为 n 的串的派生恰好是 n 步

例:

  • 将以下文法转换为 GNF.
    S → AB
    A → aA | bB | b
    B → b

解:

  • GNF 为
    S → aAB | bBB | bB
    A → aA | bB | b
    B → b

特殊情况:

  • 直接左递归
  • 间接左递归

12. 下推自动机(PDA)

下推自动机(PDA, Pushdown Automata) P 为七元组
P = ( Q , Σ , Γ , δ , q 0 , Z 0 , F ) P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F) P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)

  1. Q Q Q, 有穷状态集;
  2. Σ Σ Σ, 有穷输入符号集;
  3. Γ Γ Γ, 有穷栈符号集;
  4. δ : Q × ( Σ ∪ ε ) × Γ → 2 Q × Γ ∗ δ : Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ → 2^{Q×Γ^∗} δ:Q×(Σε)×Γ2Q×Γ, 状态转移函数;
  5. q 0 ∈ Q q0 ∈ Q q0Q, 初始状态;
  6. Z 0 ∈ Γ − Σ Z_0 ∈ Γ − Σ Z0ΓΣ, 栈底符号;
  7. F ⊆ Q F ⊆ Q FQ, 接收状态集或终态集.

形式语言与自动机总结笔记_第43张图片

例:设计识别 L 01 = { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } L_{01} = \{0^n1^n | n ≥ 1\} L01={0n1nn1} 的 PDA

形式语言与自动机总结笔记_第44张图片

例:设计识别 L w w r = { w w R ∣ w ∈ ( 0 + 1 ) ∗ } L_{ww^r} = \{ww^R | w ∈ (0 + 1)^∗\} Lwwr={wwRw(0+1)} 的 PDA

形式语言与自动机总结笔记_第45张图片

12.1 瞬时描述(ID)

为描述 PDA 瞬间的格局, 定义 Q × Σ ∗ × Γ ∗ Q × Σ^∗ × Γ^∗ Q×Σ×Γ 中三元组
( q , w , γ ) (q, w, γ) (q,w,γ)
为瞬时描述(ID, Instantaneous Description), 表示此时 PDA 处于状态 q q q,
余输入串
w w w, γ γ γ.

12.1.1 转移

在 PDA P P P 中如果 ( p , β ) ∈ δ ( q , a , Z ) (p, β) ∈ δ(q, a, Z) (p,β)δ(q,a,Z), 由 ( q , a w , Z α ) (q, aw, Zα) (q,aw,Zα) ( p , w , β α ) (p, w, βα) (p,w,βα) 的变化, 称为瞬时描述(ID)的转移 ⊢ P ⊢_P P, 记为
( q , a w , Z α ) ⊢ P ( p , w , β α ) (q, aw, Zα) ⊢_P (p, w, βα) (q,aw,Zα)P(p,w,βα)
其中 w ∈ Σ ∗ , α ∈ Γ ∗ w ∈ Σ^∗, α ∈ Γ^∗ wΣ,αΓ.
若有瞬时描述(ID) I I I, J J J K K K, 递归定义 ⊢ P ∗ ⊢^*_P P 为:

  1. I ⊢ P ∗ I I ⊢^*_P I IPI
  2. I ⊢ P ∗ J I ⊢^*_P J IPJ, J ⊢ P ∗ K J ⊢^*_P K JPK,则 I ⊢ P ∗ K I ⊢^*_P K IPK

P P P 已知, 可省略, 记为 ⊢ ⊢ ⊢ ∗ ⊢^* .

例:语言 L 01 = { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } L_{01} = \{0^n1^n | n ≥ 1\} L01={0n1nn1} 的 PDA, 识别 0011 时的 ID 序列.
形式语言与自动机总结笔记_第46张图片
解:
( q 0 , 0011 , Z 0 ) ⊢ ( q 0 , 011 , 0 Z 0 ) ⊢ ( q 0 , 11 , 00 Z 0 ) ⊢ ( q 1 , 1 , 0 Z 0 ) ⊢ ( q 1 , ε , Z 0 ) ⊢ ( q 2 , ε , Z 0 ) (q_0, 0011, Z_0) ⊢ (q_0, 011, 0Z_0) ⊢ (q_0, 11, 00Z_0) ⊢ (q_1, 1, 0Z_0) ⊢ (q_1, ε, Z_0) ⊢ (q_2, ε, Z_0) (q0,0011,Z0)(q0,011,0Z0)(q0,11,00Z0)(q1,1,0Z0)(q1,ε,Z0)(q2,ε,Z0)

定理:

  1. ∀ w ∈ Σ ∗ , ∀ γ ∈ Γ ∗ ∀w ∈ Σ^∗, ∀γ ∈ Γ^∗ wΣ,γΓ, 如果
    ( q , x , α ) ⊢ P ∗ ( p , y , β ) , (q, x, α) ⊢^*_P (p, y, β), (q,x,α)P(p,y,β),
    那么
    ( q , x w , α γ ) ⊢ P ∗ ( p , y w , β γ ) (q, xw, αγ) ⊢^*_P (p, yw, βγ) (q,xw,αγ)P(p,yw,βγ)
    即:在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后加入相同的剩余输入串、栈后加入相同的栈,仍然可以转移;

  2. ∀ w ∈ Σ ∗ ∀w ∈ Σ^∗ wΣ, 如果
    ( q , x w , α ) ⊢ P ∗ ( p , y w , β ) , (q, xw, α) ⊢^*_P (p, yw, β), (q,xw,α)P(p,yw,β),
    那么
    ( q , x , α ) ⊢ P ∗ ( p , y , β ) (q, x, α) ⊢^*_P (p, y, β) (q,x,α)P(p,y,β)
    即:在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后删除相同的输入串,仍然可以转移;

12.2 下推自动机接受的语言(终态/空栈)

PDA P = ( Q , Σ , Γ , δ , q 0 , Z 0 , F ) P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F) P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F), 以两种方式接受语言:

  • P 以终态方式接受的语言, 记为 L ( P ) L(P) L(P), 定义为 L ( P ) = w ∣ ( q 0 , w , Z 0 ) ⊢ ∗ ( p , ε , γ ) , p ∈ F . L(P) = {w | (q_0, w, Z_0) ⊢^*(p, ε, γ), p ∈ F}. L(P)=w(q0,w,Z0)(p,ε,γ),pF.
  • P 以空栈方式接受的语言, 记为 N ( P ) N(P) N(P), 定义为 N ( P ) = w ∣ ( q 0 , w , Z 0 ) ⊢ ∗ ( p , ε , ε ) . N(P) = {w | (q_0, w, Z_0) ⊢^*(p, ε, ε)}. N(P)=w(q0,w,Z0)(p,ε,ε).

定理及证明(构造)方法

  • 如果 PDA P F P_F PF 以终态方式接受语言 L,那么一定存在 PDA P N P_N PN 以空栈方式接受 L: P F = ( Q , Σ , Γ , δ F , q 0 , Z 0 , F ) P_F = (Q, Σ, Γ, δ_F, q_0, Z_0, F) PF=(Q,Σ,Γ,δF,q0,Z0,F) 构造 P N = ( Q ∪ { p 0 , p } , Σ , Γ ∪ { X 0 } , δ N , p 0 , X 0 , ∅ ) P_N = (Q ∪ \{p_0, p\}, Σ, Γ ∪ \{X0\}, δ_N, p_0, X_0, ∅) PN=(Q{p0,p},Σ,Γ{X0},δN,p0,X0,)
    终止状态时,空转移到 p p p、弹栈栈底符号 形式语言与自动机总结笔记_第47张图片
  • 反之亦然: P N = ( Q , Σ , Γ , δ N , q 0 , Z 0 , ∅ ) P_N = (Q, Σ, Γ, δ_N, q_0, Z_0, ∅) PN=(Q,Σ,Γ,δN,q0,Z0,) 构造 P F = ( Q ∪ { p 0 , p f } , Σ , Γ ∪ { X 0 } , δ F , p 0 , X 0 , { p f } ) P_F = (Q ∪ \{p_0, p_f\}, Σ, Γ ∪ \{X_0\}, δ_F, p_0, X_0, \{p_f\}) PF=(Q{p0,pf},Σ,Γ{X0},δF,p0,X0,{pf})
    空栈时,空转移到新建的终止状态 p f p_f pf形式语言与自动机总结笔记_第48张图片

例1:识别 L w w r L_{ww^r} Lwwr 的 PDA P P P , 从终态方式接受, 改为空栈方式接受.

  • 解:
    δ ( q 1 , ε , Z 0 ) = { ( q 1 , ε ) } δ(q_1, ε, Z_0) = \{(q_1, ε)\} δ(q1,ε,Z0)={(q1,ε)} 代替 δ ( q 1 , ε , Z 0 ) = { ( q 2 , Z 0 ) } δ(q_1, ε, Z_0) = \{(q_2, Z_0)\} δ(q1,ε,Z0)={(q2,Z0)} 即可
    形式语言与自动机总结笔记_第49张图片

例2:接受 L = { w ∈ { 0 , 1 } ∗ ∣ w 中 字 符 0 和 1 的 数 量 相 同 } L = \{w ∈ \{0, 1\}^∗ | w 中字符 0 和 1 的数量相同\} L={w{0,1}w01} 的 PDA

  • 栈空时,压栈;
  • 栈不空时:
    • 若输入符与栈顶相同,压栈;
    • 若输入符与栈顶不同,弹栈;
  • 栈空为接受状态。

形式语言与自动机总结笔记_第50张图片

例3:接受 L = { 0 n 1 m ∣ 0 ≤ n ≤ m ≤ 2 n } L = \{0^n1^m | 0 ≤ n ≤ m ≤ 2n\} L={0n1m0nm2n} 的 PDA

  • 定义:左、中、右、下4个状态
  • 左状态:读入0(自身递归转移)
    • 转移到中状态:空转移(栈中有0或无0都可)
  • 中状态:读入1
    • 转移到下状态:(栈中有至少一个0,至少连续2个1)读入一个1,不弹栈
    • 下状态转移回来:再读入一个1,弹栈
    • 和下状态的一个来回读入2个1
    • 自身转移:当1的个数是奇数
  • 右状态:空栈,结束
    形式语言与自动机总结笔记_第51张图片

13. CFG ⟺ \Longleftrightarrow PDA(等价性)

13.1 CFG ⟹ \Longrightarrow PDA

例:设计语言 L = { 0 n 1 m ∣ 1 ≤ m ≤ n } L = \{0^n1^m | 1 ≤ m ≤ n\} L={0n1m1mn} 的 PDA,并转换为CFG
解:

  • PDA:
    形式语言与自动机总结笔记_第52张图片
  • CFG G:
    S → A B S → AB SAB
    A → 0 A ∣ ε A → 0A | ε A0Aε
    B → 0 B 1 ∣ 01 B → 0B1 | 01 B0B101

  • 字符串 00011 的最左派生:
    S ⟹ l m A B ⟹ l m 0 A B ⟹ l m 0 B ⟹ l m 00 B 1 ⟹ l m 00011 S \underset{lm}{\Longrightarrow} AB \underset{lm}{\Longrightarrow} 0AB \underset{lm}{\Longrightarrow} 0B \underset{lm}{\Longrightarrow} 00B1 \underset{lm}{\Longrightarrow} 00011 SlmABlm0ABlm0Blm00B1lm00011

用 PDA 栈顶符号的替换, 模拟文法的最左派生

  • 栈顶为变元:输入 ε ε ε,变元派生(如: ε , S → 0 S 1 ε, S → 0S1 ε,S0S1
  • 栈顶为终结符:输入非空字符,输入串减少,栈顶弹出
  • 例解:
    形式语言与自动机总结笔记_第53张图片

13.2 PDA ⟹ \Longrightarrow CFG

如果 PDA P = ( Q , Σ , Γ , δ , q 0 , Z 0 , ∅ ) P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, ∅) P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,), 那么构造 CFG G = ( V , Σ , P ′ , S ) G = (V, Σ, P^′, S) G=(V,Σ,P,S), 其中
V V V P ′ P^′ P

  1. V = { [ q X p ] ∣ p , q ∈ Q , X ∈ Γ } ∪ { S } V = \{[qXp] | p,q ∈Q, X ∈ Γ\} ∪ \{S\} V={[qXp]p,qQ,XΓ}{S};
  2. ∀ p ∈ Q ∀p ∈ Q pQ, 构造产生式 S → [ q 0 Z 0 p ] S → [q_0Z_0p] S[q0Z0p];
  3. ∀ ( p , Y 1 Y 2 ⋅ ⋅ ⋅ Y n ) ∈ δ ( q , a , X ) ∀(p, Y_1Y_2 · · · Y_n) ∈ δ(q, a, X) (p,Y1Y2Yn)δ(q,a,X), 构造 ∣ Q ∣ n |Q|n Qn 个产生式
    [ q X r n ] → a [ p Y 1 r 1 ] [ r 1 Y 2 r 2 ] ⋅ ⋅ ⋅ [ r n − 1 Y n r n ] [qXr_n] → a[pY_1r_1][r_1Y_2r_2] · · · [r_{n−1}Y_nr_n] [qXrn]a[pY1r1][r1Y2r2][rn1Ynrn]
    其中 a ∈ Σ ∪ { ε } a ∈ Σ ∪ \{ε\} aΣ{ε}, X , Y i ∈ Γ X,Y_i ∈ Γ X,YiΓ, 而 r i ∈ Q r_i ∈ Q riQ n n n ∣ Q ∣ |Q| Q 种状态的组合; 若 i = 0 i = 0 i=0, 为 [ q X p ] → a [qXp] → a [qXp]a.

例:将 PDA P = ({p, q}, (0, 1), {X, Z}, δ, q, Z) 转为 CFG, 其中 δ 如下:
形式语言与自动机总结笔记_第54张图片

解:
形式语言与自动机总结笔记_第55张图片
化简:
形式语言与自动机总结笔记_第56张图片

14. GNF ⟹ \Longrightarrow PDA

如果 GNF 格式的 CFG G = ( V , T , P ′ , S ) G = (V, T, P^′, S) G=(V,T,P,S), 那么构造 PDA
P = ( { q } , T , V , δ , q , S , ∅ ) P = (\{q\}, T, V, δ, q, S, ∅) P=({q},T,V,δ,q,S,)
为每个产生式, 定义 δ 为:
δ ( q , a , A ) = { ( q , β ) ∣ A → a β ∈ P ′ } δ(q, a, A) = \{(q, β) | A → aβ ∈ P^′\} δ(q,a,A)={(q,β)AaβP}

即:每次读入终结符,将栈中变元进行派生(弹栈+压栈),直到栈中均为终结符。

例:文法 S → a A A , A → a S ∣ b S ∣ a S → aAA, A → aS | bS | a SaAA,AaSbSa 为 GNF 格式, 构造等价的 PDA

形式语言与自动机总结笔记_第57张图片

15. 确定性下推自动机(DPDA)

如果 PDA P = ( Q , Σ , Γ , δ , q 0 , Z 0 , F ) P = (Q, Σ, Γ, δ, q_0, Z_0, F) P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F) 满足

  1. ∀ a ∈ Σ ∪ { ε } ∀a ∈ Σ ∪ \{ε\} aΣ{ε}, δ ( q , a , X ) δ(q, a, X) δ(q,a,X) 至多有一个动作;
  2. ∀ a ∈ Σ ∀a ∈ Σ aΣ, 如果 δ ( q , a , X ) ≠ ∅ δ(q, a, X) \neq ∅ δ(q,a,X)=, 那么 δ ( q , ε , X ) = ∅ . δ(q, ε, X) = ∅. δ(q,ε,X)=.

∀ ( q , a , Z ) ∈ Q × Σ × Γ ∀(q, a, Z) ∈ Q × Σ × Γ (q,a,Z)Q×Σ×Γ 满足 ∣ δ ( q , a , Z ) ∣ + ∣ δ ( q , ε , Z ) ∣ ≤ 1 |δ(q, a, Z)| + |δ(q, ε, Z)| ≤ 1 δ(q,a,Z)+δ(q,ε,Z)1
即:每一个瞬时描述下至多有一个转移状态(可以无动作)

则称 P P P 为确定型下推自动机(DPDA)

  • DPDA P P P终态方式接受的语言 L ( P ) L(P) L(P) 称为确定性上下文无关语言(DCFL)

  • 注:DPDA 与 PDA 不等价

例:任何 DPDA 都无法接受 L w w r L_{ww^r} Lwwr, 但是可以接受
L w c w r = { w c w R ∣ w ∈ ( 0 + 1 ) ∗ } L_{wcw^r} = \{wcw^R | w ∈ (0 + 1)^∗\} Lwcwr={wcwRw(0+1)}
设计DPDA

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DCFL 的重要应用

  • 非固有歧义语言的真子集
  • 程序设计语言的语法分析器
  • LR(k) 文法, Yacc 的基础, 解析时间复杂度为 O(n)
  • 如果 L L L 是正则语言, 那么存在 DPDA P P P 以终态方式接受 L L L, 即 L = L ( P ) L = L(P) L=L(P)
  • 证明: 显然,DPDA P P P 可以不用栈而模拟任何 DFA。
  • 结论: 正 则 语 言 ⊆ D C F L ⊆ C F L 正则语言 ⊆ DCFL ⊆ CFL DCFLCFL

形式语言与自动机总结笔记_第59张图片

  • 前缀性质:如果语言 L 中不存在字符串 x 和 y, 使 x 是 y 的前缀, 称语言 L 满足前缀性质.
  • DPDA P P P L = N ( P ) L = N(P) L=N(P), 当且仅当 L L L 有前缀性质, 且存在 DPDA P ′ P^′ P 使 L = L ( P ′ ) L = L(P ′) L=L(P).
  • DPDA P P P N ( P ) N(P) N(P) 更有限, 即使正则语言 0 ∗ 0^∗ 0 也无法接受
  • 但却可以被某个 DPDA 以终态方式接受

DPDA 与歧义文法

DPDA P P P, 语言 L = L ( P ) L = L(P) L=L(P), 那么 L L L 有无歧义的 CFG

  • 因此 DPDA 在语法分析中占重要地位
  • 但是并非所有非固有歧义 CFL 都会被 DPDA 识别
    L w w r L_{ww^r} Lwwr有无歧义文法 S → 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ ε S → 0S0 | 1S1 | ε S0S01S1ε

16 上下文无关语言的泵引理

如果语言 L L L 是 CFL, 那么存在正整数 N N N, 对 ∀ z ∈ L ∀z ∈ L zL,
只要 ∣ z ∣ ≥ N |z| ≥ N zN, 就可以将 z z z 分为五部分 z = u v w x y z = uvwxy z=uvwxy 满足:

  1. v x ≠ ε vx \neq ε vx=ε (或 ∣ v x ∣ > 0 |vx| > 0 vx>0);
  2. ∣ v w x ∣ ≤ N |vwx| ≤ N vwxN;
  3. ∀ i ≥ 0 , u v i w x i y ∈ L ∀i ≥ 0, uv^iwx^iy ∈ L i0,uviwxiyL.

例:证明 L = { 0 n 1 n 2 n ∣ n ≥ 1 } L = \{0^{n}1^{n}2^{n} | n ≥ 1\} L={0n1n2nn1} 不是上下文无关语言

解:

  1. 假设 L L L 是 CFL, 那么存在整数 N, 对 ∀ z ∈ L ( ∣ z ∣ ≥ N ) ∀z ∈ L (|z| ≥ N) zL(zN) 满足泵引理.
  2. L L L 中取 z = 0 N 1 N 2 N z = 0N1N2N z=0N1N2N, 则显然 z ∈ L z ∈ L zL ∣ z ∣ = 3 N ≥ N |z| = 3N ≥ N z=3NN.
  3. 由泵引理, z z z 可被分为 z = u v w x y z = uvwxy z=uvwxy, 且有 ∣ v w x ∣ ≤ N |vwx| ≤ N vwxN v x ≠ ε vx \neq ε vx=ε.
  4. 那么 v w x vwx vwx 可能
    • 只包含 0, 1 或 2, 那么 u w y ∉ L uwy \notin L uwy/L;
    • 只包含 0 和 1, 或只包含 1 和 2, 那么也有 u w y ∉ L uwy \notin L uwy/L;
  5. 与泵引理 u w y = u v 0 w x 0 y ∈ L uwy = uv_0wx_0y ∈ L uwy=uv0wx0yL 矛盾, 假设不成立.
  6. L L L 不是上下文无关的

例:证明 L = { w w ∣ w ∈ 0 , 1 ∗ } L = \{ww | w ∈ {0, 1}^∗\} L={www0,1} 不是上下文无关的

(错误的) 证明: 假设 L L L 是 CFL. 取 z = 0 N 1 0 N 1 z = 0^N10^N1 z=0N10N1, 那么 z = u v w x y z = uvwxy z=uvwxy
形式语言与自动机总结笔记_第60张图片
则对任意 i ≥ 0 i ≥ 0 i0, 有 u v i w x i y ∈ L uv^iwx^iy ∈ L uviwxiyL, 满足泵引理.

(正确的) 证明: 假设 L L L 是 CFL. 取 z = 0 N 1 N 0 N 1 N z = 0^N1^N0^N1^N z=0N1N0N1N, 将 z z z 分为 z = u v w x y z = uvwxy z=uvwxy

  1. v w x vwx vwx z z z 中点的一侧, u v 0 w x 0 y uv_0wx_0y uv0wx0y 显然不可能属于 L L L;
  2. v w x vwx vwx 包括 z z z 中点, 那么 u v 0 w x 0 y uv_0wx_0y uv0wx0y 0 N 1 i 0 j 1 N 0^N1^i0^j1^N 0N1i0j1N, 也不可能属于 L L L.
    所以假设不成立, L L L 不是 CFL

17 上下文无关语言的封闭性

封闭

  • 连接
  • 闭包
  • 同态
  • 逆同态
  • 反转

不封闭

  • 补运算

17.1 代换

两个字母表 Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ 的函数 s   :   Σ   → 2 Γ ∗ s\ :\ \Sigma\ \rightarrow 2^{\Gamma^{*}} s : Σ 2Γ 称为代换. Σ \Sigma Σ 中的一个字符 a a a s s s 的作用下为
Γ \Gamma Γ 上的一个语言 L a L_{a} La, 即

s ( a )   =   L a s(a)\ = \ La s(a) = La

扩展 s s s 的定义到字符串,

s ( ε )   =   ε s(\varepsilon)\ = \ \varepsilon s(ε) = ε

s ( x a )   =   s ( x ) s ( a ) s(xa)\ = \ s(x)s(a) s(xa) = s(x)s(a)

再扩展 h h h 到语言, 对 ∀ L  ⊆   Σ ∗ \forall\text{L\ } \subseteq \ \Sigma^{*}  Σ

s ( L )   =   ⋃ x ∈ L s ( x ) s(L)\ = \ \bigcup_{x \in L}^{}{s(x)} s(L) = xLs(x)

  • 定理:如果有 Σ Σ Σ 上的 CFL L L L 和代换 s s s, 且每个 a ∈ Σ a ∈ Σ aΣ s ( a ) s(a) s(a) 都是 CFL, 那么 s ( L ) s(L) s(L) 也是 CFL

  • 即:可以把CFL的每个终结符扩展为一个CFL,生成的语言还是CFL

具体构造方法:

设 CFL L L L 的文法 G   =   ( V ,   T ,   P ,   S ) G\ = \ (V,\ T,\ P,\ S) G = (V, T, P, S), 每个 s ( a ) s(a) s(a) 的文法 G a =   ( V a ,   T a ,   P a ,   S a ) G_{a} = \ (V_{a},\ T_{a},\ P_{a},\ S_{a}) Ga= (Va, Ta, Pa, Sa).

那么 s ( L ) s(L) s(L) 的文法可以构造为

G ′   =   ( V   ′ ,   T   ′ ,   P   ′ ,   S )   G'\ = \ (V\ ',\ T\ ',\ P\ ',\ S)\ G = (V , T , P , S) 

  1. V ′ = V ∪ ( ⋃ a ∈ T V a   ) V^{'}=V \cup (\bigcup_{a \in T}^{}V_{a}\ ) V=V(aTVa )

  2. T ′ = ⋃ a ∈ T T a T^{'}=\bigcup_{a \in T}^{}T_{a} T=aTTa

  3. P ′ P^{'} P包括每个 P a P_{a} Pa P P P 中产生式,但是要将 P P P的产生式中每个终结符 a a a均替换为文法 G a G_{a} Ga 的开始符号 S a S_{a} Sa.

17.2 封闭性应用

例: 请证明语言 L L L 不是 CFL L = { w ∈ { a , b , c } ∗ ∣ n a ( w ) = n b ( w ) = n c ( w ) } L = \{w ∈ {\{a, b, c\}}^∗ | n_a(w) = n_b(w) = n_c(w)\} L={w{a,b,c}na(w)=nb(w)=nc(w)},其中 n a ( w ) n_a(w) na(w) 表示 w w w a a a 的个数.

证明:

  1. 因为 a ∗ b ∗ c ∗ a^∗b^∗c^∗ abc 是正则语言,
  2. L ∩ a ∗ b ∗ c ∗ = { a n b n c n ∣ n ≥ 0 } L ∩ a^∗b^∗c^∗ = \{a^nb^nc^n | n ≥ 0\} Labc={anbncnn0} 不是 CFL,
  3. 由 CFL 与正则语言的交还是 CFL, 所以 L L L 不可能是 CFL

18 上下文无关语言的判定性质

18.1 可判定的 CFL 问题

空性: 只需判断文法的开始符号 S 是否为非产生的
有穷性和无穷性:

  1. 用不带无用符号的 CNF 的产生式画有向图;
  2. 变元为顶点, 若有 A → BC, 则 A 到 B 和 C 各画一条有向边;
  3. 检查图中是否有循环.

成员性: 利用 CNF 范式, 有CYK算法检查串 w 是否属于 L

18.2 CYK算法

形式语言与自动机总结笔记_第61张图片

例:CNF G G G 如下, 用 CYK 算法判断 b b a b a a ∈ L ( G ) bbabaa ∈ L(G) bbabaaL(G)?

解:

S → A B ∣ B C S → AB | BC SABBC
A → B A ∣ a A → BA | a ABAa
B → C C ∣ b B → CC | b BCCb
C → A B ∣ a C → AB | a CABa

  • 填写最下层(单个终结符是否有可达)
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  • 计算上面若干行
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  • 结果
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  • 因为 S ∈ X 16 = { S , A } S ∈ X_{16} = \{S, A\} SX16={S,A}, 所以 b b a b a a ∈ L ( G ) bbabaa ∈ L(G) bbabaaL(G)

18.3 不可判定的 CFL 问题

  1. 判断 CFG G G G 是否歧义的?
  2. 判断 CFL 是否固有歧义的?
  3. 两个 CFL 的交是否为空?
  4. 两个 CFL 是否相同?
  5. 判断 CFL 的补是否为空? 尽管有算法判断 CFL 是否为空
  6. 判断 CFL 是否等于 Σ ∗ Σ^∗ Σ?

19. 图灵机

FA PDA TM
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( Q Q Q, Σ \Sigma Σ, δ \delta δ, q 0 q_0 q0, F F F) ( Q Q Q, Σ \Sigma Σ, Γ \Gamma Γ, δ \delta δ, q 0 q_0 q0, z 0 z_0 z0, F F F) ( Q Q Q, Σ \Sigma Σ, Γ \Gamma Γ, δ \delta δ, q 0 q_0 q0, B B B, F F F)
  • 图灵机(TM, Turing Machine) M M M 为七元组
    M = ( Q , Σ , Γ , δ , q 0 , B , F ) M = (Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,B,F) M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,B,F)
  1. Q Q Q: 有穷状态集;
  2. Σ Σ Σ: 有穷输入符号集;
  3. Γ Γ Γ: 有穷带符号集, 且总有 Σ ⊂ Γ Σ ⊂ Γ ΣΓ;
  4. δ : Q × Γ → Q × Γ × { L , R } δ: Q × Γ → Q × Γ × \{L, R\} δ:Q×ΓQ×Γ×{L,R} 转移函数;
  5. q 0 ∈ Q q_0 ∈ Q q0Q: 初始状态;
  6. B ∈ Γ − Σ B ∈ Γ − Σ BΓΣ: 空格符号;
  7. F ⊆ Q F ⊆ Q FQ: 终态集或接受状态集.

与有穷自动机区别:

  • 可修改(必须修改,但可以相同)
  • 可向左或向右移动输入带
  • 有空格符号

例:设计识别 { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } \{0^n1^n | n ≥ 1\} {0n1nn1} 的图灵机

解:

  • 每次标记一个0和一个1
  • 标记0为X(X=“0已标记”)之后,越过所有未标记的0和已标记的1,将1标记为Y(Y=“1已标记”)
  • 无未标记1后向右找到空格B,结束

M = ( { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 } , { 0 , 1 } , { 0 , 1 , X , Y , B } , δ , q 0 , B , { q 4 } ) M = (\{q0, q1, q2, q3, q4\}, \{0, 1\}, \{0, 1, X, Y, B\}, δ, q_0, B, \{q4\}) M=({q0,q1,q2,q3,q4},{0,1},{0,1,X,Y,B},δ,q0,B,{q4})
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19.1 瞬时描述(ID)

图灵机虽有无穷长的带, 但经过有限步, 带上非空内容总是有限的. 因此用全部非空符号、当前状态及带头位置, 定义图灵机的瞬时描述(ID)为
X 1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X i − 1 q X i X i + 1 ⋅ ⋅ ⋅ X n X_1X_2 · · · X_{i−1}qX_iX_{i+1} · · · X_n X1X2Xi1qXiXi+1Xn

  1. 图灵机的当前状态 q q q
  2. 带头在左起第 i i i 个非空格符 X i X_i Xi
  3. X 1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X n X_1X_2 · · · X_n X1X2Xn是最左到最右非空格内容

如果 δ ( q , X i ) = ( p , Y , L ) δ(q, Xi) = (p, Y, L) δ(q,Xi)=(p,Y,L), 定义 ID 转移为
X 1 ⋅ ⋅ ⋅ X i − 1 q X i ⋅ ⋅ ⋅ X n ⊢ X 1 ⋅ ⋅ ⋅ X i − 2 p X i − 1 Y X i + 1 ⋅ ⋅ ⋅ X n X_1 · · · X_{i−1}qX_i · · · X_n ⊢ X_1 · · · X_{i−2}pX_{i−1}YX_{i+1} · · · X_n X1Xi1qXiXnX1Xi2pXi1YXi+1Xn

续例:设计识别 { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } \{0^n1^n | n ≥ 1\} {0n1nn1} 的图灵机, 接受 0011 的 ID 序列

解:
q 00011 ⊢ X q 1011 ⊢ X 0 q 111 ⊢ X q 20 Y 1 ⊢ q 2 X 0 Y 1 ⊢ X q 00 Y 1 ⊢ X X q 1 Y 1 ⊢ X X Y q 11 ⊢ X X q 2 Y Y ⊢ X q 2 X Y Y ⊢ X X q 0 Y Y ⊢ X X Y q 3 Y ⊢ X X Y Y q 3 B ⊢ X X Y Y B q 4 B q00011 ⊢ Xq1011 ⊢ X0q111 ⊢ Xq20Y1 ⊢ q2X0Y1 ⊢ Xq00Y1 ⊢ XXq1Y1 ⊢ XXYq11 ⊢ XXq2Y Y ⊢ Xq2XYY ⊢ XXq0YY ⊢ XXYq3Y ⊢ XXYYq3B ⊢ XXYYBq4B q00011Xq1011X0q111Xq20Y1q2X0Y1Xq00Y1XXq1Y1XXYq11XXq2YYXq2XYYXXq0YYXXYq3YXXYYq3BXXYYBq4B

19.2 递归可枚举语言

如果 M 是一个图灵机,则 M 接受的语言为
L ( M ) = { w ∣ w ∈ Σ ∗ , q 0 w ⊢ ∗ α p β , p ∈ F , α , β ∈ Γ ∗ } L(M) = \{w | w ∈ Σ^∗, q_0w ⊢*αpβ, p ∈ F, α, β ∈ Γ^∗\} L(M)={wwΣ,q0wαpβ,pF,α,βΓ}

如果 L L L 是图灵机 $M $的语言, 即 L = L ( M ) L = L(M) L=L(M), 则称 L L L递归可枚举语言.

一般假定, 当输入串被接受时, 图灵机总会停机
然而, 对于不接受的输入, 图灵机可能永远不停止

对接受和不接受的输入, 都保证停机的图灵机, 所接受的语言称为递归语言

19.3 真减法

例:Compute the function nomus (m, n)=max(m-n,0)

解:

  • put 1m01n into tape as input
  • delete a 1 from 1m and a 1 from 1n
    形式语言与自动机总结笔记_第72张图片

19.4 乘法

例:Construct a TM to compute m×n

3 × 2 = 2 + 2 + 2

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