行列式的定义及简单计算

• 行列式是一个数值，虽然形式上看起来比较复杂，比较不象数值；
  
  • 将行列式可以转化为加减乘除的四则运算，同样也可以将四则运算转换为行列式的形式，这样转化的好处在什么呢，利用行列式的性质对其进行快速计算；

1. 三阶行列式的计算

2. 雅克比行列式到极坐标

从Jacobian矩阵、Hessian矩阵到Theano实现
雅可比行列式在积分坐标变换中的应用

Jn=∂(y1,y2,…,yn)∂(x1,x2,…,xn)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂x1∂f2∂x1⋯∂fn∂x1∂f1∂x2∂f2∂x2⋯∂fn∂x2⋯⋯⋯⋯∂f1∂xn∂f2∂xn⋯∂fn∂xn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

• 雅克比行列式的每一行表示多元函数关于各个成员的偏导数；

对于二重积分而言，设极坐标变换 x=ρcosθ,y=ρsinθ ，则其二阶行列式为：

∣∣∣cosθsinθ−ρsinθρcosθ∣∣∣=ρ

所以在积分运算中，便存在如下的变换形式：

∫∫Dxyf(x,y)dxdy=∫∫Dρ,θf[ρcosθ,ρsinθ]ρdρdθ

4. 计算

化简如下的表达式：

y=sin2xsin2ysin2z+sin(x+y)sin(y+z)sin(x+z)+sin(x+z)sin(y+z)sin(y+x)−sin(y+x)sin2zsin(x+y)−sin(y+z)sin(z+y)sin2x−sin(z+x)sin(x+z)sin2y

将其转化为行列式形式：

y==∣∣∣∣∣sin2xsin(y+x)sin(z+x)sin(x+y)sin2ysin(z+y)sin(x+z)sin(y+z)sin2z∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sinxcosx+sinxcosxsinycosx+sinxcosysinzcosx+sinxcoszsinxcosy+sinycosxsinycosy+sinycosysinzcosy+sinycoszsinxcosz+sinzcosxsinycosz+sinzcosysinzcosz+sinzcosz∣∣∣∣∣∣

然后将行列式（两个方阵和的行列式）拆分为 6 个小行列式，其结果是十分清晰的，那就是 0.