[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

一、题目

点此看题

二、解法

trdnr手把手教你推式子，这就是大佬吧，i了i了

先把多项式展开（算系数对应的贡献）：
$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{k=0}^n{k}^i\times x^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$这里需要用到第二类斯特林数的知识，先要康康这个。

感觉一个比较套路的东西是用第二类斯特林数展开幂次，由于斯特林数的下标不能过大（这里展开$x^k$的话斯特林数就会含$k$，而含$i$的话要好做些，因为我们要求和$m$有关的算法），我们只能展开$k^i$：
$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{k=0}^n{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)$$从斯特林数的意义上考虑，枚举上界可以压一压：
$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{k=0}^n{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)$$我们的目标是让$k$少出现，首先你必须要知道这样一个恒等式：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m-k}\right)$$对原式的组合数进行操作，然后交换一波枚举顺序（下面枚举的$k$即是$k-j$）：
$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\sum _{k=0}^{n-j}{x}^{k+j}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{k}\right)$$然后使用二项式定理：
$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)x^j(1+x{)}^{n-j}$$$$\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}A(n,j)\times x^j(1+x{)}^{n-j}$$这个排列数会算吧，快速幂会写吧，斯特林数会求吧 ：
$$S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m)$$时间复杂度$O(m^2\log )$

#include 
#define int long long
const int M = 1005;
int read()
{
    int num=0,flag=1;
    char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,x,p,m,ans,s[M][M],A[M];
int qkpow(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) r=r*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
signed main()
{
    n=read();x=read();p=read();m=read();
    s[0][0]=A[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        A[i]=A[i-1]*(n-i+1)%p;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j)%p;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        int a=read(),tmp=0;
        for(int j=0;j<=i;j++)
            tmp=(tmp+s[i][j]*qkpow(x,j)%p*qkpow(1+x,n-j)%p*A[j]%p)%p;
        ans=(ans+a*tmp)%p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}