【逆元】

逆元（inv）

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的；

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在 p 是素数的情况下，对任意整数 x 都有 xp≡x(mod)p 。 
如果 x 无法被 p 整除，则有 xp−1≡1(modp) 。 
可以在 p 为素数的情况下求出一个数的逆元， x∗xp−2≡1(modp) ， xp−2 即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

复杂度O(logn)；

代码：

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= mod;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return ret;
}
long long inv(long long a) {
    return quickpow(a, mod - 2);
}

(2)扩展欧几里得算法求逆元

扩展欧几里得算法可以参考小白书；

百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~

可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

复杂度：O(logn)；

代码：

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    extend_gcd(a, n, x, y);
    x = (x % n + n) % n;
    return x;
}

(3) 逆元线性筛 ( P为质数 )

求1,2,...,N关于P的逆元（P为质数）

复杂度：O(N)

代码：

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

如果是求阶乘的逆元呢？（阶乘数组：fac[ ]）

代码：

inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);
for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;

参考blog：

http://www.voidcn.com/blog/qq_28954601/article/p-6227778.html、

https://menyf.gitbooks.io/acm-icpc-template/6_%E6%95%B0%E8%AE%BA/%E9%80%86%E5%85%83.html。