图论第3讲：顶点的度与图的度序列、图序列

顶点的度与图的度序列

——定义描述图的结构性质的重要参数

1. 顶点的度及其性质

定义：G中顶点v的度数d(v)指G中与v关联的边的数目。

重点1：

点v上的每个环算2度。

注：Δ(G)最大度；δ(G)最小度；奇数度的点为奇点；偶数度的点为偶点。

重点2：正则图的含义

K-正则图:简单图G中每个顶点的度数都是k，则称图G为k-正则图。

 

定理：图论第一定理、握手定理、欧拉定理

所有顶点的度数和为边数m的两倍。(每条边都给总度数贡献2度)

推论1：任何图中，奇点的个数为偶数(偶数只能加偶数，和才能是偶数)

推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数(阶数*度数=偶数)

 

2. 图的度序列及其性质

度序列的定义：一个图的各个顶点的度(d1,d2,...,dn)称为G的度序列。

重点3：

非负整数组(d1,d2,...,dn)是图的度序列 充要条件 序列中元素总和为偶数。

证明：

必要性：由握手定理易证；

充分性：(通过构建一个符合条件的图来证明)

因为和为偶数，故数组中奇数的个数必为偶数，按如下方式进行构造：

step1：对所有偶数的di,作环直到把di消耗完；

step2: 对于所有为奇数的di, 先两两配对，然后在配对点之间连接一条边，最后再继续做环。

该图的度序列即为所求。

 

3. 图序列及其性质

重点4：图序列的定义

简单图的度序列即为图序列。

 

重点5：图序列的判定及作图

设非负整数组Π=(d1,d2,d3,...,dn),d1≥d2≥d3≥...≥dn,且度数和为偶数，则Π是图序列的 充要条件是

是图序列

注：严格而言，应该比较d1+1与n的大小。此处不做区分。

即是一个递推关系。

 

4. 图的频序列及其性质

定义：图的频序列，设n阶图的各点的度取s个不同的非负整数d1,d2,...,ds,又设度为di的点有bi个，则b1+b2+...+bs=n,故(b1,b2,...,bs)是n的一个划分，称为G的频序列。

 

重点6：

简单图G的n个点的度不能互不相同。(即一个简单图的频序列中至少有一个元素大于等于2)

证明：分为三种情形：没有孤立点(n个点满足1≤d(v)≤n-1)，有一个孤立点((n-1)个点满足1≤d(v)≤n-2)，有两个及以上孤立点(孤立点度数相同)讨论。

 

性质：一个n阶图G和它的补图有相同的频序列。

 

参考：

《图论及其应用》张先迪等