《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)

图和简单图:

一个图就是,由一个表示具体事物的点的集合,和表示事物之间联系的一些线的集合所构成。

平凡图:只有一个点而无边的图。

空图:边集为空的图。

假设u和v是e的端点,称u与e相关联。

 

图的同构:

u_1\leftrightarrow u_2,v_1\leftrightarrow v_2u_1v_1u_2v_2的重数相同。

等价类:按照同构关系可划分。

商集:所有等价类为元素构成的集合。

 

完全偶图:具有二分类(X,Y)的简单偶图,其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连。

补图:

对于一个简单图G=(V,E),令集合E_1=\{uv|u\neq v,u,v\in V\},则图H=(V,E_1 \setminus E)称为G的补图。

ps:这里E和E1的边加起来,就是完全图的边数。

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ps:因为是自补图,自己和自己的补图同构,边数当然是一样的啦。

取模运算,商偏向于负无穷方向。去余运算,商偏向于0方向。

a ≡ b (mod p),表明a和b对p取模,它们余数相等。

 

顶点的度,度序列:

奇点:奇数度的顶点;偶点:偶数度的顶点。

k正则图:每个点的度数都为k。如:完全图和完全偶图K_{n,n}均是正则图。

握手定理:

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ps:因为总的度数为偶数。偶点无论怎么加都为偶数,奇点要加够偶数个,才为偶数。

ps:k为奇数,则图的所有点都为奇点,奇点的个数必为偶数,也就是阶数为偶数。

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ps:当△(G)<n-1时, 所有的度可能的情况都在括号里了。当△(G)=n-1时,每个顶点的度数范围在最小度到最大度之间,这个长度的范围是,又有△(G)+1=n,减去δ就肯定<n了,那肯定有顶点重复。

 

子图与图的运算:

子图:顶点集是子集、边集也是子集,而且子图中的边的重数不超过G中对应边的重数。

生成子图:顶点集相同的子图。

导出子图:提取出一个顶点集,和这些顶点集相关联的边的子图。

相关记法:G[V'];G[V\V']是除去V'顶点及相关联的边,也有G-V’

边导出子图:提取出边集,和这些边的端点,的子图。

相关记法:G[E'];G[E\E'],也有G-E'

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并图:G1∪G2,顶点集和边集都要并,也记为G1+G2。

交图:G1 \cap G2,至少要有一个公共顶点。

差:G1-G2,由G1中去掉G2中的边组成的图。

对称差:

 

联图:G1和G2不能相交,把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来,记为G1VG2。

K1VK2=K5,K2VK3=K5

积图:对顶点集V=V1 X V2,得到u=(u1,u2),v=(v1,v2)

若u1=v1,u2和v2在原图中邻接,或者u2=v2,u1和v1在原图中邻接,则u和v连线。

G=G1 X G2

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运算后,点和边的数目统计:

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ps:积图边的数目,G1顶点数n1要和G2的顶点数n2做积,因此n1每个点要负责m2条边的连接。

 

路与图的连通性:

迹:途径中的边,互不相同。

路:途径是迹,且顶点也互不相同。

连通是顶点集V上的一个等价关系,可将V划分为一些等价类。

可得,连通分支的概念,连通分支个数,记为\omega(G),连通图 \omega(G)=1。

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ps:通过证明任意两点都是连通的方式,来证明G的补图是连通图。

闭迹:称为回路。

圈:起点与内部顶点互不相同。长为k的圈称为k圈;根据k是奇数还是偶数,则称k圈是奇圈和偶圈。

直径:一个图中,最长的距离。

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ps:在必要性的证明中,圈的长度为k-1,当k为奇数时,则圈就为偶圈。

在充分性的证明中,先根据距离的奇偶性划分为两个集合X和Y,再证明(X,Y)是个二分类,即它们集合内部,任意两点都不相连。具有相同奇偶性的数相加,必为偶数。

 

最短路及其算法:

Dantijg算法(顶点标号法):

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ps: Ti为a1到ai的最短路上的边集合;Ai为已经标号的顶点集合;t(an)表示an的标号值,a1到an的最短路长度。

步骤2做的事情:

遍历每个已标号顶点an。找出:某个已标号顶点an的,未标号邻点。然后算出:某个已标号顶点an,到其最近邻点距离。不但要找出l最小,还要使得步骤3中的,t+l最小。

步骤3做的事情:

可以得出某个已标号顶点a_{m_{i}}使得,根据步骤2,算出的各个最小值中,再找出最小值,然后做相应的更新。

《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)_第12张图片

好的图论算法:若在如何一个具有m条边的n阶图G上,实施这个算法所需要的计算步数,都可由n和m的一个多项式为其上界。

动态规划是Bellman,作为多阶段决策过程而研究出来的。

 

图的代数表示及其特征:

邻接矩阵:若节点间相邻,则为1,否则为0;

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ps:推论1中,自身到自身,有两个方向可走。因此,可得出度数和三角形数目的两倍。

关联矩阵:

某点vi与边ej有关联时,则b_{ij}=1,否则为0。

 

极图:

l部图:将点集V划分为l个互不相交的集合,且每个集合内的点,互不相连。

l=2时,G为偶图;n阶图必为n部图。

若,因此,l_1部图也是l_2部图。

ps:l_1个集合里的任一个集合都是互不相连的,因此,可任选一些集合来继续划分至,集合数量达到l_2

完全l部图:每个集合内的点,都和其它集合里的点,均有边相连。

完全l部图可表示为:

它显然有:条边。

n阶完全l几乎等部图:

对于一个n个点的完全l部图G中:

有:,因为,k(l-r)+r(k+1)=kl+r的形式。

所以记为:

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ps:若u的选取,在V1中,则v要经过V2中的点,才能到达u。

《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)_第15张图片

ps:当n1=n2=n/2时,能使m=n1*n2达到最大。

《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)_第16张图片

 ps:若是要边数最多,则必定要是个完全l部图,完全l几乎等部图意味着每个集合的元素个数接近相等,若每个集合里元素相等,则必定是完全l几乎等部图。

 

H的度序列优于G,或者是,G的度序列弱于H,表示的是:有一个映射μ,使得G中的任何点u,有关系成立。

ps:若G度弱于H,一定有:m(G)≤m(H)。

   

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 ps:先取出最大度的那个顶点u,再取出u的所有的邻接点的导出子图G1。G1要是含有K_t,则 u V G1,就是K_{t+1}了。

V2应包含u点,则G2VG1的边数不少于G。

《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)_第18张图片

ps:N_G(v)只能导出G1这么多个顶点,G_1VG_2之后,通过v点能导出更多个顶点。

因为G度弱于G_1VG_2G_1VG_2度弱于H=H_2VG_2,而G和H有相同的度序列,则G和G_1VG_2有相同的度序列。

因为G_1VG_2中,V1每个点和V2每个点相连,G和G_1VG_2有相同的度序列,那在G中,V1和V2肯定也是互相的。

G_1VG_2H_1VG_2有相同的度序列,G1和H1连接G2中的点的边数是一样的,因此G1和H1的度序列也必须是相等。

归纳假设是:G1不含K_t,且度弱于完全t-1部图H1,且G1与H1有相同的度序列,则同构;

因此推导出,做联图后,G_1VG_2H_1VG_2也同构。

 

托兰定理:

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ps:定理18说明,完全l部图的边数肯定 ≤ 完全l几乎等部图。

 

托兰定理的应用:

排雷模型:在任意的两个人之间的距离不超过g米的条件下,距离大于等于h米的人数对最多能达到多少对。

平面点集A的直径:指A中点对的距离的最大值,其中距离是指欧式距离

建立模型:计算在直径为g的点集\{x_1,x_2,...,x_n\}中最多有多少点对,其距离大于h。

 

《图论及其应用》学习笔记(图和简单图)_第20张图片

 

 

 

 

 

 

 

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