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概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布

注：本文针对常用的连续分布：正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、卡方分布与贝塔分布作了大致的介绍，需要记住它们的参数、数学期望与方差、以及密度函数，一个分布就是一个概率模型。

目录

       各种分布之间的关系

1 正态分布N\left ( \mu ,\sigma^{2} \right ) 

密度函数、分布函数、背景、参数 \mu  、参数 \sigma

标准正态分布、标准化变换、由正态分布计算概率值、正态分布的3\sigma 原则

2 均匀分布 U\left ( a,b \right )

背景、密度函数、分布函数、均匀分布的密度函数与分布函数图

期望与方差、标准均匀分布

3 指数分布Exp(\lambda)

背景、密度函数、指数分布密度函数图、分布函数

数学期望与方差、指数分布的无记忆性

4 伽马分布Ga\left ( \alpha ,\lambda \right ) ​

伽马函数 ​、背景、密度函数、数学期望与方差、与指数分布​ 的关系

 5 卡方分布 \chi ^{2}\left ( n \right )​  （Chi square) 

与伽马分布的关系、密度函数、期望与方差

6 贝塔分布Be\left ( \alpha,\beta \right ) ​ 

背景、贝塔函数 ​ 、密度函数、数学期望与方差、与均匀分布的关系

【7】 对数正态分布 ​Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )  

【8 】韦布尔分布             【9】  t分布                   【 10 】F 分布 

 7 常用连续分布表

常用连续分布

 

各种分布之间的关系

  • 伽马分布与指数分布：Ga\left ( 1,\lambda \right )=Exp\left ( \lambda \right )
  • 负二项分布与几何分布【离散分布】：Nb\left ( 1,p \right )= Ge\left ( p \right )
  • 伽马分布与卡方分布：Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)
  • 正态分布与卡方分布：若X_{1}, X_{2},...,X_{n}\: \: \textup{i.i.d}\sim N\left ( 0,1 \right ) ，则X= \sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim \chi ^{2}\left ( n \right )
  • 贝塔分布与均匀分布：Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right )

 

【1 】正态分布 N\left ( \mu ,\sigma^{2} \right )

密度函数

p\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}} \: ;\: -\infty < x< +\infty

正态分布的密度函数曲线又称“钟形曲线”

分布函数

 F\left ( x \right )=P\left ( X< x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\mathrm{d}t\: ,\: -\infty < x< +\infty

或写成用分号隔开参数和随机变量的形式

其中参数 -\infty < \mu < +\infty，\sigma > 0 

背景:

测量误差常被认为服从正态分布/【高斯分布】，因为它是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果。

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第1张图片

参数 \mu

  • \mu 是正态分布的数学期望，即E\left ( X \right )=\mu ,称 \mu 为正态分布的位置参数/对称中心，以x=\mu 为对称轴，正态分布左右两边的密度函数曲线p\left ( x \right ) 与x 轴所围的面积各为0.5 ，\mu 也是正态分布的中位数 。
  • 标准差 \sigma相同，而 \mu 不同时，相当于把密度函数曲线p\left ( x \right )沿着x轴作水平位移，如下图所示

（图的右上角备注了不同颜色的曲线对应的参数）

  • 若 X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ,则 X在离 \mu  越近取值的可能性越大；离 \mu  越远取值的可能性越小。

 

参数 \sigma

  • \sigma ^{2} 是正态分布的方差，即 Var\left ( X \right )=\sigma ^{2} ,
  • \sigma 是正态分布的标准差，\sigma 越小，正态分布越集中，密度曲线越“高瘦”，\sigma 越大，正态分布越分散，密度曲线越“矮胖”，\sigma 又称为正态分布的尺度参数。
  • 若 X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ,则 其密度函数p\left ( x \right ) 在 \mu \pm \sigma 处有两个拐点。
  • 设X\sim N\left ( 0,\sigma ^{2} \right ) ,则E\left | X \right |=\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}

 

标准正态分布

称\mu =0,\sigma =1 的正态分布N\left ( 0,1 \right ) 为标准正态分布，记U为标准正态变量， 标准正态分布的密度函数\varphi \left ( u \right )和分布函数 \Phi \left ( u \right ) 满足如下关系：

  • \varphi \left ( u \right )=\varphi \left ( -u \right ) 
  • \Phi \left ( -u \right ) =1-\Phi \left ( u \right ) ；对于u> 0,\Phi \left ( u \right ) 的值可直接查正态分布表。

标准化变换

正态分布的性质：正态变量的线性变换仍为正态变量，即

           若X \sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ，则当 a\not\equiv 0 时，有 Y= aX+b\sim N\left ( a\mu +b\: ,\: a^{2}\sigma^{2} \right ) .

若 X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ,则  U=\frac{\left ( X-\mu \right )}{\sigma }\sim N\left ( 0,1 \right ) ,其中 U=\frac{\left ( X-\mu \right )}{\sigma } 称为 X的标准化变换。

由正态分布计算概率值

涉及正态分布的概率计算，一般是先转化为标准正态，再查标准正态的分布函数表\Phi \left ( u \right )，即可求得概率值。

若 X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ,则 对任意的实数a 与b,有

  • P\left ( X \leqslant b \right )=\Phi \left ( \frac{b-\mu }{\sigma } \right )
  • P\left ( a< X \right )=1- \Phi \left ( \frac{a-\mu }{\sigma } \right )
  • P\left ( a< X \leqslant b \right )=\Phi \left ( \frac{b-\mu }{\sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac{a-\mu }{\sigma } \right )
  • \Phi \left ( \frac{1}{2} \right )=0.6915;\Phi \left ( 1 \right )=0.8413;\: \Phi \left ( 2 \right )=0.9972;\: u_{0.95}=1.645;\:

 

正态分布的3\sigma原则

 设 X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )，则

P\left ( \left | X-\mu \right |< k\sigma \right ) =\Phi (k)-\Phi (-k)=\begin{Bmatrix} 0.6826 \: ,\: k=1 \\ 0.9545\: ,\: k=2 \\ 0.9973\: ,\: k=3 \end{matrix}

管理学中的六西格玛原则就是与均值\mu 的标准偏差不小于 6\sigma，也就是这种差异的绝对值不小于3\sigma，表示当产品质量控制在这个范围内时，此时的产品无缺陷的概率高达99.73%，这个原则可用来降低产品与服务的缺陷次数。参考：六西格玛

后期再讲中心极限定理时，还会再次用到正态分布，它可以说是最基础最重要的连续分布了。

参考 正态分布（高斯分布） - hhaowang的博客

【2 】均匀分布 U\left ( a,b \right )

背景

 向区间 \left ( a,b \right ) 内随机投点，使点落在任意相等长度的小区间内的可能性相等，则落点坐标服从均匀分布 U\left ( a,b \right ).

密度函数

p( x )= \begin{Bmatrix} 1/\left ( b-a \right )\: ,\: a< x< b \\ 0\: ,\: otherwise \end{matrix}

分布函数

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第2张图片

均匀分布的密度函数与分布函数图

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第3张图片

 

期望与方差

E\left ( X \right )=\frac{a+b}{2} ;  Var\left ( X \right ) =\frac{\left ( b-a \right )^{2}}{12}

标准均匀分布

称区间（0，1）上的均匀分布为标准均匀分布，它是导出其它均匀分布随机数的桥梁。

【3】 指数分布 Exp(\lambda)

背景

  • 很多产品的寿命 可认为（近似）服从指数分布；
  • 一个元器件/设备/系统 遇到外来冲击即告失效，则首次冲击来到的时间X(寿命)服从指数分布

密度函数

指数分布密度函数图

 

分布函数

数学期望与方差

E\left ( X \right )=\frac{1}{\lambda } \: ;\: Var\left ( X \right ) =\frac{1}{\lambda ^{2}}

指数分布的无记忆性

若 X\sim Exp\left ( \lambda \right ) ，则对任意的s> 0,\: t > 0 ，有P\left (X> s+t \: |\: X > s\right ) =P\left ( X> t \right )

 

【4】 伽马分布 Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )

伽马函数 \Gamma \left ( \alpha \right )

称  \Gamma \left ( \alpha \right ) =\int_{0}^{+\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\mathrm{d}x  为伽马函数，其中参数\alpha > 0 ，伽马函数具有如下性质：

  • \Gamma \left ( 1 \right )=1
  • \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi }
  • \Gamma \left ( \alpha +1 \right )=\alpha \Gamma \left ( \alpha \right )
  • \Gamma \left ( n+1 \right )=n \Gamma \left ( n \right )=n! \: ;  ,n为自然数；或写作 \Gamma \left ( n \right )=\left ( n-1 \right )! 

余元公式：对于 x\in \left ( 0,1 \right ) ,有 \Gamma \left ( 1-x \right ) \Gamma \left ( x \right )=\frac{\pi }{sin\, \pi x}

  • 与贝塔函数 B\left ( m,n \right ) 的关系 : B\left ( m,n \right ) =\frac{\Gamma \left ( m \right )\Gamma \left ( n \right )}{\Gamma \left ( m+n \right )}
  • 对于 x> 0 ;伽马函数是严格凹函数。
  • x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值:\Gamma \left ( x\right )\sim \sqrt{2\pi }e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}} 

 

背景：

若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布 Ga\left ( k,\lambda \right ) .

密度函数:

\alpha> 0  为形状参数 ，\lambda > 0 为尺度参数 ；

密度函数图如下所示，

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第4张图片

数学期望与方差

E(X)=\frac{\alpha }{\lambda}; Var(X)=\frac{\alpha }{\lambda^{2}}

与指数分布Exp\left ( \lambda \right ) 的关系

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，

若X\sim Ga\left ( k,\lambda \right ) ,则X= X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k} ,其中 X_{i}\sim Exp\left ( \lambda \right ),\: i=1,2,...,k 【独立同分布】

【 5】 卡方分布 \chi ^{2}\left ( n \right )  （Chi square) 

与伽马分布的关系

 称\alpha =\frac{n}{2};\: \lambda =\frac{1}{2} 的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)

密度函数

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第5张图片

 

期望与方差

E\left ( X \right )=n;\: Var\left ( X \right )=2n

注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

【6】 贝塔分布 Be\left ( \alpha,\beta \right ) 

背景

很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量

贝塔函数 B\left ( a,b \right ) 

称  B\left ( a,b \right ) =\int_{0}^{1}x^{a-1}\left ( 1-x \right )^{b-1}\mathrm{d}x 为贝塔函数，其中参数 a> 0,\: b> 0 。贝塔函数的性质：

  • B\left ( a,b \right )=B\left ( b,a \right )
  •  B\left ( a,b \right ) =\frac{\Gamma \left ( a \right )\Gamma \left ( b \right )}{\Gamma \left ( a+b \right )}

密度函数 

当0< x< 1 时，为f(x);否则为0.

其中\alpha > 0 ,\: \beta > 0 都是形状参数。【下图中 a就是\alpha ，b就是\beta 】

 贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。

数学期望与方差

E\left ( X \right )=\frac{a}{a+b};\: Var\left ( X \right )=\frac{ab}{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+b+1 \right )}

与均匀分布的关系

当 a=b=1 时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即 Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right ) .

 

【7】 对数正态分布 Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )

  • 若X的密度函数为 如下f\left ( x;\mu ,\sigma \right ) ，

则称X服从对数正态分布，记为 X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) .其中 -\infty < \mu < +\infty\: , \: \sigma > 0 . 

  • 对数正态分布的密度函数图

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第6张图片

  • 对数正态分布的期望与方差

                    若 X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )， 则  E\left ( X \right )=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\: ,\: Var\left ( X \right )=\left ( e^{\sigma^{2}}-1 \right )e^{2\mu +\sigma ^{2}} .

  • 与正态分布的关系：

                     若 X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) ，则 Y=\textup{Ln} \left (X \right )\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right ) 

 

【8 】韦布尔分布

这里写图片描述

 

【9】  t分布 

概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布_第7张图片

【 10 】F 分布 

 

7 常用连续分布表

 概率论与数理统计教程-茆诗松-第二版 ；习题与解答

贝塔、伽马分布 - CSDN博客  

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    Spring提供了一组数据访问框架，集成了多种数据访问技术。无论是JDBC，iBATIS(mybatis)还是Hibernate，Spring都能够帮助消除持久化代码中单调枯燥的数据访问逻辑。可以依赖Spring来处理底层的数据访问。 mybatis是一种Spring持久化框架，要使用mybatis，就要做好相应的配置： 1，配置数据源。有很多数据源可以选择，如：DBCP，JDBC，aliba
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